Релятивистская небесная механика - Брумберг В.А.
Скачать (прямая ссылка):
?5=-1, в? = 1. 56
ЭЛЕМЕНТЫ РИМАНОВОИ ГЕОМЕТРИИ
[ГЛ. iI
Тогда скалярный квадрат и скалярное произведение векторов псевдоевклидовой плоскости запишутся в виде
+ хг\ ху = - х°у° + XlV1. (28)
,2 _ _
X' =
В чисто условной форме геометрические соотношения на псевдоевклидовой плоскости могут быть изображены на обычной евклидовой плоскости, как это сделано, например,
на рис. 3. За ось ординат р«*0 здесь принята ось X01 за f ось абсцисс — ось Xі и на этих осях отложены соответственно орты е0 и ех. Изотропные прямые X2=O (т. е. X0= + Xі) изображаются биссектрисами координатных углов. В паре вертикальных углов, образованных этими биссектрисами и содержащими ось X1f лежат векторы вещественной длины (х2 > 0). В другой паре вертикальных углов, содержащих ось X01 нахо-(х2 0). Окружности
Рис. 3.
дятся векторы мнимои длины
X2 = р2 (р = const) псевдоевклидовой плоскости соответствуют в координатах X0y Xі равносторонним гиперболам. Ортогональные прямые в силу (28) характеризуются соотношением у0/у1 = Xі/X0 и симметричны относительно соответствующих биссектрис. Поэтому поворот одного из ортов репера на некоторый угол влечет за собой встречное вращение другого орта. Вращение репера, т. е. переход к новому реперу, аналитически задается формулами, вытекающими из (2):
е0> = А°0>е о + ^eu еґ = А°ґе о + Afa.
(29)
При этом коэффициенты AJ и А\* отличны от нуля (иначе мнимоединичный вектор был бы пропорционален единичному, что невозможно), и в силу ортогональности § ЗІ ПСЕВДОЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
57
ортов во' и ev должно быть
A10, __ A01. _
где ? — некоторое вещественное число. Подставляя в (29) вытекающие отсюда выражения AJ', A^ и записывая, что el = —1, е\* = 1, находим
=iTr=P=- = '
в результате чего формулы (29) принимают вид
eo + ?ei^ ?eo + ві^ (30
0 ± у 1 _ ?2 ' 1 ± /l - ?« ' '
причем для вещественности преобразования необходимо условие
-1<р<1. (31)
В зависимости от комбинации знаков в формулах (30) возможны четыре типа вращения репера. Для приложений к теории относительности важен случай собственного вращения, при котором в обеих формулах (30) берутся положительные знаки и тем самым сохраняется ориентация ортов е0, ег. Определитель такого преобразования равен +1.
Обобщением псевдоевклидовой плоскости является и-мерное псевдоевклидово пространство индекса 1. В случае п = 4, важном для теории относительности, можно положить
= 1, е\ = el = el = L (32)
Скалярный квадрат вектора в этом пространстве будет тогда
Х2 = _ + х1г + Х2* + ^ (33)
Уравнение X2 = 0 определяет изотропный гиперконус вдоль оси я0, являющийся непосредственным обобщением изотропных прямых псевдоевклидовой плоскости. Внутри гиперконуса проходят кривые мнимой длины, вне его — кривые вещественной длины. Преобразование репера е0, 58
ЭЛЕМЕНТЫ РИМАНОВОИ ГЕОМЕТРИИ
[ГЛ. iI
ei » е3 этого пространства к новому реперу е0', ^e2' eSr сводится по существу к вращению репера в псевдоеквли-довой плоскости. Действительно, пусть R3 — сечение рассматриваемого четырехмерного псевдоевклидова пространства плоскостью х° = 0, a R3 — сечение плоскостью х? = 0. R3 и Rз представляют собой трехмерные собственно евклидовы пространства с реперами е4, е2, е3 и е2>,
соответственно. Тривиальным вращением реперов в R3 и R3 можно добиться совпадения ортов е2 и в2', вз и вз'-Псевдоевклидовы плоскости, определяемые ортами е0, C1 и ^o' , Єї', будут тогда совпадать друг с другом. Поэтому для завершения преобразования к новому реперу остается лишь произвести вращение репера (30) в псевдоевклидовой плоскости. Окончательно преобразование репера четырехмерного псевдоевклидова пространства индекса 1 запишется в виде
eo+?gi_ ?eo + ei^ Рв-Р
0 ± VT=V ' 1 ± Vi=Ji' 2 2' 3 3'
(34)
Возвращаясь к общему случаю евклидова пространства Rn, рассмотрим преобразование координат при преобразовании репера (2). Контрвариантные координаты преобразуются по общей формуле (7), ковариантные координаты — по формуле
x{i = A^xi. (35
Считая теперь греческие индексы изменяющимися от 1 до А, а латинские — от к -f- 1 до /г, перепишем формулы (7) и (35) в виде
X — Aql X ~~j— Ai X J Xa' — Аа*Ха "-J- AatXi,
X — Аах —j— Avx", xv = Avxa —j— AvXi.
Подставляя сюда соотношения (25), находим Аа> = Aa, Aa' — Ai э = i4a, Av = . (36)
Таким образом, переход к новому реперу и соответствующее преобразование координат в га-мерном псевдоевклидовом пространстве индекса к совершается при помощи КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ
59
псевдоортогональной матрицы. Произведение строк этой матрицы дает 0, если строки разные, —1 — если номер строки не превышает к, и -f-l? если номер строки больше к. Произведение строк берется по типу (26), т. е. первые к элементов произведения входят с противоположным знаком. Аналогичные соотношения справедливы и для произведения столбцов. Определитель такой матрицы равен +1.
Пользуясь соотношениями (36), можно написать закон преобразования контрвариантных координат в четырехмерном псевдоевклидовом пространстве индекса 1 при переходе к новому реперу (34)
