Релятивистская небесная механика - Брумберг В.А.
Скачать (прямая ссылка):
25
вого порядка на основании (42) и соотношений
3 л / ~\ - 2 •dR //Q4
п-п = —г—{а-а), а-а= (43)
будет
SK — S? = — /1-е2 [(со — 5) + (Q-Q) cos і] +
2 3« 3 р . d/г + TS - J »• dt. (44)
§ 3. Возмущение от третьего тела
В небесной механике разработано значительное число очень совершенных методов, позволяющих в аналитическом виде находить приближенные решения уравнений возмущенного движения как в элементах, так и в координатах. Для целей релятивистской небесной механики нет необходимости применять сложные методы, рассчитанные на вычисление возмущений не только первого, но и более высокого порядка.
Действительно, малый параметр, фигурирующий в уравнениях релятивистской небесной механики тел Солнечной системы, является настолько малым (порядка 10~8), что учет членов высших порядков практически совершенно не нужен. К тому же сами основные релятивистские уравнения движения получены до сих пор лишь с точностью до первой степени этого параметра. Поэтому в релятивистских задачах речь обычно идет лишь о вычислении первого порядка, и наиболее удобным средством для этого оказывается метод вариации произвольных постоянных. Это не исключает, конечно, применения других методов, в частности, методов вычисления возмущений в координатах, которые в ряде случаев имеют вполне определенные преимущества. Но метод вариации произвольных постоянных является наиболее универсальным, и поэтому здесь будут изложены некоторые особенности его применения в небесномеханических задачах.
Рассмотрим гелиоцентрическое движение планеты массы т при возмущающем действии планеты массы т'. Возмущающая сила F допускает в этом случае 26 ЭЛЕМЕНТЫ НЬЮТОНОВОЙ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. 1
пертурбационную функцию
* = (4" "S)'
где А — взаимное расстояние между планетами, г, Vf — их радиусы-векторы. Для аналитического интегрирования уравнений Лагранжа в оскулирующих элементах функцию R необходимо разложить в ряд, используя формулы задачи двух тел. Наиболее общее разложение R имеет вид пятиаргументного тригонометрического ряда
R = ym'JAqq^j cos [qM + q'M' + ад + s'to' +j(Q — Q')],
(45)
где коэффициенты А зависят от элементов а, а', е, е\ і, а суммирование проводится по всем целочисленным значениям пяти индексов с условием, что S и Sf — числа одинаковой четности и / > 0. Обозначим угловые аргументы ряда (45) через QqqWj. В функции от средних долгот и долгот перигелиев эти аргументы запишутся в виде
e^'ss', = qb + qf У i(5-g)3t + (s'-q') я' +(j-s) Q +
+ (_/_?) G'.
При малых эксцентриситетах и значениях наклонов! близких к 0 или 180°, коэффициенты А имеют порядок малости
Aq^j = "'-'I (sin (sin-f)"4''1 X
, І і У«+>У і' \1«'->ї\
X(cosX) (cosI") )'
что является обобщением свойств коэффициентов решения (22), (23) задачи двух тел. Для справочных целей приведем формулы для вычисления произвольного коэффициента ряда (45). В случае г < г*
"W, = (2 - 6,о) Д (-2rp''1+l Xf^'(е) X
x^^W^lM'), (46) § 3] ВОЗМУЩЕНИЯ OT ТРЕТЬЕГО ТЕЛА 27
а в случае г>г' ?Aqq'ts'j —
= (2 — б,і0) S rf^iy^хГ-^'&хГ^-'Хе')-fc«k,L\ а >
- (irj X1q-' (е) X'qy (e') ] (? (і, і'), (47)
где символом к, s'] обозначено число
Is. s'l = max {| s I, I s' = I —^f- J + J | >
нижние пределы суммирования имеют значения К = max {О, E ("а* (2, |/!}-[*,*']-И )} §
(48)
2
Величины Fk)і (і) (0 ^ / ^ к; 0 ^ I ^ к) сводятся к гипергеометрическим полиномам от sin2 у:
„ , / . і \lk—»-ail / і \|k+/-2i|
Fm (0 = hu [sm-j-j (cos~2~j X
l + k + -L\k-j-2l\ +±.\k + j-2l\,
i+\k-j-2l\, sin2-І-) (49) с числовыми коэффициентами
JLtft = (-1)* X
(I)kw. (l + fc + 7-)mal(0,
It-j-at) (1 + k ~/)max(o, -k+i+2t) X 2* (I)Z (I)fcw (I)Jk-,--*! 28 ЭЛЕМЕНТЫ НЬЮТОНОВОЙ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. 1
Таким образом, коэффициенты разложения (45) представляются рядами по степеням квадрата отношения больших полуосей.
Так как в планетных задачах отношение больших полуосей может быть не очень мало, то в подобных случаях целесообразно применить к рядам (46) и (47) методы, позволяющие получить более быструю сходимость. Укажем еще упрощение разложения (45) при і' = О, т. е. когда за основную плоскость отсчета принимается плоскость движения возмущающей планеты. Тогда должно быть s' +/ = 0, так что суммирование по s' упраздняется, S и j становятся числами одинаковой четности, а начальные значения к* и Zcjfs переходят в
V = max {О, E (3~~2К/1)} (к = 0).
Вообще, при исследовании решений уравнений небесной механики выбор той или иной плоскости отсчета имеет первостепенное значение и самым существенным образом влияет на величину и характер возмущений.
Подставляя теперь разложение (45) в уравнения JIa-гранжа для оскулирующих элементов, получаем:
1 da 2пт' А . Q
at 1 -f- m e
di nm' cosec і ^r\ л / . v . п
-dt=- T+Hi утТ=еIS аА««'*°'> (scosl- J)sin Vss',,
. . rfQ mnf 1 « Q, , - о ,
ainlSf= TT^ YT^ sa -^Tl cos V-SS-,,
• (Ї + «»«S) - V^ S - ^ - ,
2nm' ^n 2dAqq'ss'j n
= - Zje2-Ira cos V«',-
(50)
Невозможность проинтегрировать эти уравнения в строгом виде заставляет обращаться к различным мето- § 3] ВОЗМУЩЕНИЯ OT ТРЕТЬЕГО ТЕЛА
