Лекции по теории переноса лучистой энергии - Адзерихо К.С.
Скачать (прямая ссылка):
(4.25) не подходит для решения по физическому смыслу:
функция е~Ч (т, |а) должна стремиться к нулю при т-> оо. Поэтому погожим С_а = 0. Тогда остается определить (п + 1) произвольную постоянную, а решение системы (4.19) можно записать в виде
+ (4.27)
Условие (4.20) опрецеляет п произвольных констант С„ и <2(0= 1,2.........Я— 1):
г
= 0. (4.28)
1 — А«Н-|
А постоянную b можно найти из условия постоянства потока:
1 Tl
2л j I (т, ц) (idji = 2л 2 — H-
-1 /=-л
Подставляя сюда выражение (4.27), сумму последнего соотношения можно представить в виде
п-1
—krr T •
X
1—~п а=1
п
/5? 1 jSSi
Первая сумма равна нулю из очевидного представления: j / (И) dv- = 2 VO*/). /О*) = 2 fl^= °' (4,29)
—1 /=—п /=—п
Для второй суммы находим:
1 Vl
fli
— kaVj ka 1 I — fta|iy
/=—"
7. К. С. Адэернхо д7
л
1
I — IiaV-J
і
і п ~ і л
— У -I--------------------У а. = О,
'-*л *•«
/I
так как Oj = 2 и по (4.23) -------------= 2.
/ l~k^i Тогда, учитывая, что, аналогично (4.29),
ЧЬ п ’ 2
.L1W=Ti
/=—я
находим постоянную 6:
— 2л ¦ — b = Я или b = — Р. (4.30)
3 4 ’
Используя (4.27), для фуикции источника получаем сле-
дующее выражение:
.Ij .я
eW = — j 1 (*. И) Ф = —V а}1} (т) =
-I
= T р (Q +т + X с“е~*“т) • (4-31)
а=1
Нетрудно определить и угловое распределение выходящего из среды излучения:
— . т'
ТГ dx'
7(0. |л)||*<о--= — J" е(т)е»
о
Чр(0 + ^ + ?т^Ы' (4'32)
о-Г +^“1
а=1
Рассмотрим в качестве примера первое приближение метода Чандрасекара (n = I). В этом случае O1 = OL1=I. Корнями Рг(ц) являются ^1=—[і.^І/і' З, ибо 3|А2—1 =0. Вместо системы (4.19) имеем систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений:
98
W' —Jr~ “ ~ '¦w + І l/‘(,) +(t,l;
_____\_
V 3
или
dh dl
где d| = dx.
Получили систему уравнений, аналогичную системе (4.2). Поэтому выпишем окончательные результаты:
е(т)=Ір(Х.Ьу=,), (4.33)
/(О, P (гр=- Н-м) • (4-34)
Сравнение соотношения (4.33) и параметра углового распределения Л с точными выражениями приведено в табл. 2. Вероятно, среднее значение fx = cos0, выбранное в методе Шварцшильда — Шустера, несколько занижено. Значение н = -^.для проблемы Милна более реально
отражает действительность. В общем случае величина [х определяется оптическими характеристиками среды и условиями эксперимента. Следует отметить, что погрешность в определении параметра углового распределения Д сильно падает с возрастанием номера приближения. По [20] во втором приближении метода Чандрасекара погрешность расчета величины Д составляет 1,43%, в третьем приближении 0,62, а в четвертом всего 0,34%.
В связи с развитием вычислительной техники метод Чандрасекара с успехом применяется для решения важных задач теории переноса излучения. В частности, с помощью этого метода достаточно точно в настоящее время протабулированы функции Амбарцумяна, причем к довольно точным результатам приводит уже четвертое приближение изложенного метода.
= - /-1W и- ir Ih (T) + и Wl ат 2
= — I1 + /_х И —
dt
7*
99
§ 4. Метод сферических гармоник
Метод сферических гармоник (или метод разложения интенсивности излучения по полиномам Лежандра) был предложен еще Эддингтоном. Использование полиномов Лежандра вполне естественно, так как они представляют собой полный набор ортогональных функций в интервале (—I, 1), т. е. в интервале изменения искомой величины. Метод широко применяется в практических расчетах, особенно при расчетах ядерных реакторов. Большое количество задач решено с помощью метода сферических гармоник Чандрасекаром. Дальнейшее математическое обоснование и развитие метод получил в работах Вика, Марка, Курганова, Маршака, Марчука и других видных специалистов ядерной физики.
Представим искомую интенсивность излучения в виде разложения по полиномам Лежандра [38, 39]:
л=0
где An (т) — некоторые весовые функции, представляющие собой мр^енты сферических гармоник углового распределения. Напомним, что
(2і -- I) HP1 (Ц) = (і + I) Pul (ц) + ІР,_! (|х). (4.38)
Для п = 0,1 можно легко установить физический смысл Ап(т). Так как по (4.37)
Ап (т) = j I (т, н)Рп (H) dQ = 2n\ I (т, ц) Pn (и)4і, (4.39)
I (т, (.і) = — (2пА - I) An (т) Pn (ц)> (4.35)
Ip'"
-і
то, согласно (4.36), находим: ' ТОО
Л (т) = J I С*. J-O-P0 (м-) dfl = J / (т, Ji) do, = 4я/(т),
А (т) = J* / (т, Ji) P1 (ц) dQ = [ / (т, ji) jidji = Н.
(4.40)
Значит, нулевой момент сферических гармоник углового распределения A0 (т) определяется усредненной интенсивностью излучения, а первый момент (т) в точности равен потоку излучения.
С учетом (4.40) уравнение переноса излучения (1.49) можно записать в виде
Подставим (4.35) в уравнение (4.41). Пользуясь свойством (4.38), явным представлением P0(Ji) и P1(Ji) по (4.36) и приравнивая коэффициенты при полиномах Лежандра одного и .того же порядка, приходим к системе обыкновенных дифференциальных-уравнений для определения весовых функций Ап(х):
