Задачник практикум по математическому анализу - Егерев В.К.
Скачать (прямая ссылка):
4. Для нахождения Mx и Му проинтегрируем dMx, dMy по отрезку [a; &]: Mx = Му = ... .
5. Используя соотношения хст = Myi уст = Mx, в итоге находим: хс = ус = ... .
9°. Определите количество электричества Q, протекающего через поперечное сечение проводника за промежуток времени It1; J2].
Решение.
1. Выделим элементарный отрезок времени [t; t + df], такой, в пределах которого силу тока / можно приближенно считать ' Рис 28 постоянной. Тогда «элемент» количества
электричества dQ определяется формулой dQ = I (f) ... . 2. Для того чтобы найти Q, проинтегрируем dQ в промежутке It1] t22-
и
Q = J....
II. Примеры и упражнения
1. Найдите путь, пройденный за первые 10 с движения телом, свободно падающим в пустоте, если известно, что скорость v свободного падения в пустоте определяется формулой V = V0 + gt, где — начальная скорость, g — ускорение силы тяжести, t — протекшее время.
Решение.
1. Воспользуемся формулой, приведенной в 5° данного параграфа. Учитывая, что t0 = 0, tk = 10, и0 = O1 g = 9,8 м/с2, находим искомое расстояние:
ю о
2. Какую работу An надо затратить, чтобы тело массой т поднять с поверхности Земли на высоту /і? Чему равна эта работа, если тело должно быть удалено в бесконечность?
Решение.
1. Используем формулу F = F (г) = k—, где т — масса тела,
г2
M — масса Земли, г — расстояние от тела до центра Земли, k — постоянная, определяемая из условия, что на поверхности Земли (г = = R) F = mg:
mg = k —, откуда k = — . 6 Я2 J M
2. Сила F (г) направлена по радиусу от центра Земли, и в том же направлении происходит перемещение тела из начальной точки а =
= R до конечной точки Ь = R + h. Искомая работа: An = j... .
R
3. Лоо = Hm An = Hm ... .
И.-+со /г-»-оо
3. Два электрических заряда ег = е2 = —Ю-7 Кл находятся на
4
расстоянии 40 см друг от друга. Разделяющей их средой служит парафин. Сначала оба заряда закреплены неподвижно, а затем заряд ех освобождается и под действием силы отталкивания удаляется от заряда е2 на расстояние, равное 1 м. Какая работа при этом будет произведена силой отталкивания? Решение.
1. По закону Кулона сила F (х) взаимодействия зарядов ех и е2 равна: F (х) = —!— Щ-у где s0 = 8,854 • 10-12Ф/м — диэлектриче-
4лEn 8*2
54
екая проницаемость вакуума, є = 2 — лектрическая проницаемость парафина.
2. Искомая работа: ^=J ....
4. Определите координаты центра т. сти плоской однородной (р = 1) фир ограниченной синусоидой у = sin х и Ol ком оси Ox от л: = 0 до х = я.
Решение.
Для рассматриваемой задачи а = Следовательно,
J д: sin xdx
хс = —я =
J sin о
J--
y«-J----I"
III. Упражнения для самостоятельного решения
1. Скорость движения задается формулой v = УI + At м/с. Найдите путь, пройденный точкой за первые 10 с от начала движения.
2. Какую работу надо затратить, чтобы растянуть пружину на 6 см, если сила в 1 H растягивает ее на 1 см?
3. Найдите координаты центра тяжести треугольника, ограниченного прямыми X + у = З, X = 0, у = 0. Плотность р = 1.
4. Найдите координаты центра тяжести фигуры, ограниченной первой аркой циклоиды х = a (t — sin t)\ у = а (1 — cos t).
5. Сила тока / в проводнике меняется во времени по закону / = = 2 + 3t2 (А). Найдите количество электричества, протекшее через поперечное сечение проводника за время от Z1 = 3 до t2 = 6 с.
6. Сила тока (городского), имеющего 50 колебаний в минуту, изменяется по закону / = A0 sin nt (А), где Л0—-его амплитуда. Найдите количество электричества, протекшего через поперечное сечение проводника за время от tx = 0 до t2 = 0,02 с.
§ 15. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
I. Основные сведения из теории
Закончите утверждения:
Г. Если плоская непрерывная кривая задана в декартовой системе координат уравнением у = / (х) 1> 0, то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми х = а, х = Ь и осью Ox (рис. 29), определяется формулой S = ... .
2°. Если плоская непрерывная кривая задана уравнениями в параметрической форме х = q> (t)9 у = ij) (f) ^ 0, то площадь криво-
диэ-
яже-уры, грез-
y=f(x)
/УУУУ/УУ/
0
а і
Рис.29
0, Ь = я, у (х) = sin х.
55
линейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми х = а, X = Ъ и осью Ox1 определяется формулой .S = ..., где значения верхнего и нижнего пределов интегрирования определяются из уравнений а = ф(...) и Ь =ф (...).
3°. Если плоская непрерывная кривая задана в полярных координатах (рис. 30) уравнением г = f (ф), то площадь сектора, ограниченного этой кривой и двумя полярными радиусами, соответствующими значениям фі = а и ф2 = ?, определяется формулой S = ... .
4°. Длина дуги плоской гладкой кривой, заданной в декартовой системе координат уравнением у = f (х) и ограниченной точками с абсциссами х = а и х = Ь, определяется формулой I=... .
5°. Если плоская гладкая кривая задана в параметрической форме уравнениями х = <p (t) и у = ф (t), а значения параметра, соответствующие началу и концу дуги, равны и t2, то длина дуги определяется формулой I=... .
