Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Егерев В.К. -> "Задачник практикум по математическому анализу" -> 19

Задачник практикум по математическому анализу - Егерев В.К.

Егерев В.К. , Несененко Г.А., Козлова В.А., Диканова З.А., Корсакова О.С. Задачник практикум по математическому анализу. Под редакцией Егерева В.К. — М.: Просвещение, 1981. — 87 c.
Скачать (прямая ссылка): zadprmavk1981.djvu
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 29 >> Следующая


0/8? In 1/8);

г) первого витка архимедовой спирали г = шр:

5S

д) окружности г = 2а sin ф. _

3. Докажите, что длина эллипса х = У 2 sin t, у = cos t равна длине одной волны синусоиды у = sin X.

4. Вычислите объем:

а) тела, образованного вращением фигуры, ограниченной полукубической параболой у2 = х3, осью Ox и прямой х = 1, вокруг оси Ох\

б) усеченного кругового конуса с радиусами оснований R и г (г < R) и высотой /г,

в) тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной параболами у = х2 и у = Ух\

г) тела, ограниченного поверхностью, образованной вращением

кривой у = вокруг ее асимптоты.

5. Вычислите площадь поверхности:

а) образованной вращением вокруг оси Ox тангенсоиды у = tg х от X = 0 до X = —;

4

б) шара радиуса г;

в) образованной вращением вокруг оси Ox трактрисы х =з

/ . 1 + cos i\ . ,

= а\ — cost + In—¦- , у = asmt.

[ sin ^ J

§ 16. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА I. Основные сведения из теории

1°. Закончите определения:

1. Дифференциальным уравнением называется соотношение, в которое входят независимая переменная, неизвестная функция и ... .

2. Наивысший порядок входящих в дифференциальное уравнение производных или дифференциалов искомой функции называется его ... .

3. Дифференциальное уравнение называется уравнением первого порядка, если в него входят... . Уравнение первого порядка всегда можно представить в виде F (...) = 0.

2°. Подставляя функцию у = 2 sin х и ее производную в дифференциальное уравнение у' tg X = у, докажите, что она служит решением этого уравнения.

Доказательство.

1. Найдем производную функции у = 2 sin х: ... .

2. Подставим эту функцию и ее производную в левую и правую части данного уравнения: у' tg х = у = 2 sin л:.

3. Получим тождество: ... . 3°. Закончите определения:

1. Функция f (х) называется решением дифференциального уравнения первого порядка, если ... .

59

2. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется... .

3. Дифференциальное уравнение вида Z1 (х) /2 (у) dx + + Si (х) §2 (у) dy = 0 называется ... .

4. Дифференциальное уравнение, которое можно представить в

виде у' = f (^— j, называется ... .

5. Линейным уравнением первого порядка называется дифференциальное уравнение, которое представимо в виде ... .

II. Примеры и упражнения

1. Докажите, что при любом значении С функция у = У&* + С служит решением уравнения уу' — е2х = 0. Подберите число С так, чтобы решение удовлетворяло начальному условию у I = 2.

I х=0

2. Составьте дифференциальное уравнение семейства окружностей (а — х)2 + у2 = 1.

Указание. Продифференцируйте обе части данного уравнения и исключите параметр а.

3. Какие из нижеприведенных уравнений являются уравнениями: 1) первого порядка; 2) второго порядка:

а) (х — 1)у' = у2; б) у' = 2ху + хъ\ в) у = xe*'\ г) tg х sin2y dx+ + cos2 X ctg у dy = 0; д) у" = х\ е) xdy — ydx =Ух2 + уЧх\ ж) у' = = е2х - у; з) уу" + (y')2 = 1; и) у' = ^ + 8у; к) х2 dy - (2ху +

ІХ + Dy

+ 3) dx= 0; л) х2у' = ху + (х2 + у2) arctg ^; м) у' tg х = у.

X

4. Какие из уравнений, приведенных в примере 3, являются: 1) уравнениями с разделяющимися переменными; 2) однородными уравнениями; 3) линейными уравнениями (первого порядка)?

5. Определите, однородно ли уравнение (у — x)dx+ (х + 2y)dy=

= 0, не приводя его к виду у' =

Указание. Для того чтобы определить, однородно ли уравнение вида P (х, у) dx + Q (х, у) dy = 0, не обязательно приводить его

к виду у' = f Можно воспользоваться следующим легко выводимым правилом: если при умножении обоих аргументов функций P (ху у) и Q (я, у) на произвольное число t вид уравнения не изменится, то оно однородно. Обычно такую проверку делают устно. Например, умножив на t аргументы л: и у функций у — х и х + 2у, получим: (ty — tx) dx + (tx + 2ty) dy = 0 или (y—x) dx+(x + 2y) dy= = 0. Уравнение не изменилось, следовательно, оно однородно.

6. Проверьте, однородны ли уравнения:

а) (х + у)dx + (у — х)dy = 0; б) ydx + (х — у2)dy=0; в) sin xdx+ + у dy = 0.

60

7. Проинтегрируйте уравнение cos х dx= в котором переменные разделены.

8. Решите уравнение Yy2 + 1 dx—х2у dy = 0 с разделяющимися переменными. Найдите частное решение, удовлетворяющее начальному условию у\х=1 = ]/3.

9. Частица падает в среде, сопротивление которой пропорционально квадрату ее скорости. Докажите, что уравнение движения

частицы будет иметь следующий вид: — = g — kv2, где k — по-

dt

стоянная, g — ускорение свободного падения. Проинтегрируйте это уравнение.

Доказательство.

1. По второму закону Ньютона та = F, где т — масса частицы, а — ее ускорение в момент времени t, a F — сумма сил, действующих в этот момент на частицу.

2. Ускорение а = ... .

3. Частица движется под действием своего веса и сила сопротивления направлена в сторону, противоположную смещению. Следовательно, F = P- /сопр; P = ...,/ сопр = ... .

4. Уравнение движения частицы: .
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 29 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed