Задачник практикум по математическому анализу - Егерев В.К.
Скачать (прямая ссылка):
4. Точка х0 называется точкой максимума (max) функции у = / (х) если ... .
Число f (х0) называется ... .
5. Точками экстремума функции у == f (х) называются такие ее точки ... .
2°. Закончите формулировки утверждений:
1. Для того чтобы функция у = f (х), имеющая на некотором промежутке ]я; Ь[ производную F (х), возрастала на этом промежутке, необходимо и достаточно, чтобы для всех X Є ]я; Ь[ выполнялось неравенство F (х) ... 0.
2. Для того чтобы функция у = f (х), имеющая на некотором промежутке ]а; Ь[ производную /' (х), убывала на этом промежутке, необходимо и достаточно, чтобы ... .
3. Пусть функция у = / (х) непрерывна в точке jc0. Если X0 — точ-
33
7 ка экстремума функции у = f (х), то в этой
точке необходимо выполняется одно из следующих условий:
а) либо у' б) либо у' ... . Точки х0, в которых либо у' либо у' называются ... точками.
4. Пусть функция у = f (х) непрерывна на некотором промежутке ]а; &[, содержащем критическую точку х0, и дифференцируема Рис 25 на ]а; х0[, >0; &[, тогда:
1) для того чтобы X0 была точкой минимума, достаточно выполнения следующих условий: a) f (х) ... О при X 6 ]а; х0[ и б) F (х) ...0 при х 6 >0; Ь[;
2) для того чтобы точка X0 была точкой максимума, достаточно выполнения следующих условий: a) F W ...Опри* 6 ]а; х0[иб) Г (#) ...О при а: Є ]л:0; &[.
3°. Раскройте геометрический смысл производной функции у = *= f (я): значение производной F (х) ПРИ Данном значении аргумента X равняется образованного касательной к графику функции f (х) в соответствующей точке М(...) с положительным направлением оси Ох.
4°. Закончите определения:
1. Пусть дана кривая L (рис. 25) и на ней точка M0 (х0\ у0). Возьмем на L точку M1 (X1; у,) и проведем секущую M0M1 (точка M1 может быть расположена по любую сторону от точки M0). Если при неограниченном приближении точки M1 по кривой L к точке M0 (с любой стороны!) секущая M0M1 стремится занять положение определенной прямой M0T, то прямая M0T называется а ее уравнение имеет вид: у — уо = ... .
2. Нормалью к кривой в данной точке называется прямая, проходящая через эту точку ... .
Уравнение нормали имеет следующий вид: ... .
II. Примеры и упражнения
1. На рисунке 26 дан график функции у = f (х). Заполните таблицу, указав знаки у' (х) и у" (х) в отмеченных точках:
X
*1
X2
X3
Xi
х%
X6
X7
хв
У'(х)
у"(х)
I !
2. Нижеприведенная таблица определяет поведение ряда функций у = f (х) в некоторой Uo (х0). Сделайте схематические наброски графиков по образцу, приведенному в перром столбце таблицы:
34
1
2 I 3 I 4 Б I 6
7
У (*о)
+
+ +
+ +
+
+
У' (Xo)
+
+
—
— I O
O
O
У" {X0)
+
—
+
- + -
O
I
О
х0-о- X0X* ff % tga=i/'(x0)
Рис. 26
3. Для нижеприведенных функций у = f {х) найдите точки экстремума и интервалы монотонности. Заполните таблицы и сделайте схематические чертежи, следуя указанной схеме:
1. Найдите у' (х).
2. Определите критические (стационарные) точки.
3. Определите знаки у' (х) в достаточно малых окрестностях найденных критических точек и точек разрыва функции у = у (х).
4. Заполните таблицу:
X
у'
У
5. Сделайте чертеж:
1) у = Xs — Зх2 + Зх — 1; 2) у = ЗуТ2 — 2х; 3) у = xtr*. 4. Напишите уравнения а) касательных и б) нормалей к графикам нижеприведенных функций в точке M0 (х0; у0)'-
I) у = VxI M0 (4; 2); 2) у = In х, M0 (1; 0); 3) Xs + Уг + 2х - 6 = 0, M0 (х0; 6); 4) <% = HM м^2. 2)>
2*2 2/
35
III. Упражнения для самостоятельного решения
1. Нижеприводимая таблица определяет поведение ряда функций у = f (х) в Uo (х0). Сделайте схематические наброски графиков по образцу, приведенному в примере 2 (см. примеры):
J 1 2 I 3 4
5
• I '
8 I 9 10 I 11
12
13
14
у M
о I о I 0
0
о I 0
0
У' (*о)
+ +!-
0
0
0
+ +
—
—
0
0
0
У" (X0)
+ -
+
—
+ 1-
о + I -
+
—
+
—
0
2. Для нижеприводимых функций у (х) выполните задание, предлагаемое в примере 3:
а) у(X) = \(х-2У(х + 4); б) у(х) = -^-;
4 In X
в) У (х) = (х — І) е?х+1; г) у (х) = In sin х\ д) у (х) = X (х — 2).
3. Напишите уравнения касательной и нормали к кривой, заданной уравнением у = х? + 2х2 — ix — 3, в точке M0 (—2; 5).
4. Напишите уравнения касательной и нормали к параболе у =]/~х в точке с абсциссой х = 4.
5. Под каким углом кривая у = е0»5* пересекает прямую х = 2?
6. Под каким углом пересекаются параболы у = х2 и у = х3? Указание. Углом между пересекающимися кривыми в точке
их пересечения называют угол между касательными к ним, проведенными через эту точку.
§ 9. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ ПО ОБЩЕЙ СХЕМЕ I. Основные сведения из теории 1°. Закончите определения:
1. Корнем (нулем) функции у — / (х) называется такое число х0, для которого справедливо равенство: ... .
