Задачник практикум по математическому анализу - Егерев В.К.
Скачать (прямая ссылка):
6°. Если плоская гладкая кривая задана в полярных координатах уравнением г = f (ф), где a ^ <p ^ ?, то длина дуги определяется формулой I=... .
ь
7°. Формулой Vx = JiJ у2 dx определяется объем тела, образован-
а
ного вращением вокруг оси... криволинейной трапеции, ограниченной кривой..., осью... и двумя прямыми... и ... .
ь
8°. Формулой Vy= яJ ху dx определяется... .
а
ъ ь
9°. Формулой Sx = 2nJ у dl = 2njy УI + (y')2 dx определяется пло-
а а
щадь поверхности, образованной вращением вокруг оси ... дуги плоской гладкой кривой, заданной уравнением у = f (х), где a ^ х ^ < Ь.
II. Примеры и упражнения
1. Вычислите площадь параболического сектора, образованного параболой у = х2 и прямой у = 1. Сделайте чертеж. Решение.
1. Абсциссы точек пересечения параболы и прямой: ... .
2. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой у = X2, осью Ох, а также прямыми...: .S1 = ... .
3. Площадь квадрата со стороной, длина которой равна ...:
S2= ... .
, , 4. Площадь параболического сектора: s^f(V) $ =... .
2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной одной полуволной синусоиды у = = sin X и осью абсцисс. Сделайте чертеж. Решение.
1. Заметим, что одна полуволна синусо-
56
иды соответствует значениям х, меняющимся в пределах от х = ...
ДО X = ... .
2. Искомая площадь: .S = ... .
3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболами у = X2 и у2 = х. Сделайте чертеж.
Решение.
1. Абсциссы точек пересечения данных парабол: ... .
2. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной: а) кривой б) осью...; в) прямыми ... и ...: S1 = ... .
3. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной: а) кривой б) осью...; в) прямыми ... и...: S2 = •
4. Искомая площадь: S = ... .
4. Найдите площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и одной аркой циклоиды х = a(t — sin t), у = а (1 — cos t). Сделайте чертеж.
Решение.
1. Значения параметра t, соответствующие началу и концу арки: t = ... и t = ... .
2. Вычислим dx: ... .
3. Искомая площадь: S = ... .
5. Вычислите площадь одного лепестка лемнискаты Бернулли г2 = a2 cos 2ф. Сделайте чертеж.
Решение.
1. Заметим, что один лепесток лемнискаты Бернулли заключен между значениями полярного угла а = фх = ... и ? = <р2 = ... .
2. Искомая площадь: S = ... .
6. Вычислите длину дуги окружности X2 + у2 = R2. Решение.
1. Запишем формулу, позволяющую найти I1 — длину одной четвертой части окружности, соответствующей изменению координаты л: от 0 до R:
а) запишем уравнение окружности в виде у =
б) вычислим /: ...; в) составим УI + у'2: ...; г) вычислим I1: ....
2. Длина искомой окружности: С = 4Z1 = ... .
7. Вычислите длину астроиды х = a cos3 t> у = a sin3 t. Сделайте чертеж.
Решение.
1. Найдем X и у: ... .
2. Вычислим V у2 + X2: ... .
3. Значения параметра t, соответствующие концам дуги четвертой части астроиды: t = ... и t = ... .
4. Длина дуги четвертой части астроиды: I1 = ... .
5. Длина астроиды: I = H1 = ... .
8. Вычислите длину кардиоиды г = а (1 + cos ф). Сделайте чертеж.
Решение.
1. Заметим, что вся кривая описывается точкой (г; ф) при изменении ф от ... до ... .
57
2. Найдем г': ... .
3. Вычислим ]/г2 + г'2: ....
4. Искомая длина: I = ... .
9. Найдите объем тела, образуемого вращением фигуры, ограниченной одной полуволной синусоиды у = sin X и осью абсцисс вокруг:
1) оси Ох; 2) оси Oy.
10. Вычислите площадь поверхности (катеноида), образованной
вращением цепной линии у = ach— вокруг оси Ox в пределах от
а
X = 0 до X = а. Сделайте чертеж. Решение.
1. Выразим у = ach — = ... .
а
2. Вычислим у': ... .
3. Найдем V1 + У'2'- ... -
4. Площадь поверхности катеноида: Sx = ... .
11. Вычислите площадь поверхности, образованной вращением одной арки циклоиды х = a (t — sin t), у = а (1 — cos t) вокруг оси абсцисс.
Решение.
1. Заметим, что крайним точкам арки циклоиды соответствуют следующие значения параметра: t = ... и t = ... .
2. Найдем dx и dy: ... .
3. Вычислим dl = j/dx2 + dy2: ....
4. Искомая площадь поверхности: = ... .
III. Упражнения для самостоятельного решения
1. Вычислите площадь:
а) фигуры, ограниченной кривой у = In х, осью Ox и прямой X = е\
б) фигуры, ограниченной параболой у = 2х — х2 и прямой У = —х\
в) фигуры, ограниченной параболой у2 = х, гиперболой ху = 8 и отрезком прямой, соединяющим точку (8; 1) гиперболы с точкой
(8; —У8) параболы;
г) эллипса, заданного уравнениями х = a cos ty у = Ь sin t\
д) фигуры, ограниченной астроидой х = a cosa у = a sin3 ?
е) фигуры, ограниченной кардиоидой г = а (1 + cos ф);
ж) фигуры, ограниченной улиткой Паскаля г = 2а (2 + cos ф).
2. Вычислите длину:
а) дуги кривой у = 1 — In cos х от л; = 0 до х = —;
б) дуги развертки окружности х = a (cos ? + t sin /), у = = a (sin ^ — ^ cos t) от / = 0 до t = я;
в) дуги кривой у = In X от точки (]/"3; In ]/"3) до точки
