Задачник практикум по математическому анализу - Егерев В.К.
Скачать (прямая ссылка):
Зд;2+ 2л: —5 A1B1C =--1---1--•
(jc+ I)(jc-I)(jc-2) 3. Методом подстановки найдем неопределенные коэффициенты
46
A1 В и С: Зх2 + 2х - 5 = А (х - 1) (х - 2) + В (х + 1) (* - 2) + + С(х-1)(х+ 1).
а) X = 2 =>- б) л: = 1 =ф- в) л: = — 1 ... .
(Чем руководствовались, полагая последовательно х = 2, # = 1,
X = —1?)
4. Искомый интеграл
Зх2 + 2х — 5
¦>dx =
(*+!)(*_ 1)(*_2)
5. Проинтегрируйте рациональную дробь, знаменатель которой разлагается лишь на множители первой степени, среди которых имеются повторяющиеся:
г x*dx__
J + 2)» — 1) в
Решение.
1. Выясним, является ли подынтегральная дробь правильной рациональной дробью. Если нет, то выделим ее целую часть... .
2. Запишем правильную часть подынтегральной дроби в виде суммы простейших дробей:
* =... +. -
(X+ 2)« (х-1) (х + 2)2(*-1)
= ... + -^- + _*_ + -^-.
X + 2 '(je + 2)2 je—1
3. Найдем неопределенные коэффициенты Л, В и С методом приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях х: ... .
4. Искомый интеграл
х* dx
і-
(*+ 2)2 (X-I)
6. Проинтегрируйте правильную рациональную дробь, знаменатель которой разлагается лишь на неповторяющиеся множители второй степени с отрицательными дискриминантами и, возможно, на множители первой степени:
(2x—l)dx
(х*+х + 2)
Решение.
1. Запишем правильную подынтегральную дробь в виде суммы простейших дробей:
2x—l A Mx+ N
{х2 + х + 2)(х-\)~ ... + ...
2. Найдем неопределенные коэффициенты Л, M и N путем комбинирования метода подстановки (полагая х = 1) и метода приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях х:
2х — 1 = Л (х2 + X + 2) + (Mx + N) (х — 1), X ==; 1 ... .
47
3. Искомый интеграл
(2х— 1) dx
(х2 + х+2) (х-1)
7. Проинтегрируйте правильную рациональную дробь, знаменатель которой разлагается на множители второй степени, имеющие отрицательные дискриминанты, среди которых есть повторяющиеся множители:
хъ dx (X2+ I)2'
Решение.
1. Запишем правильную подынтегральную дробь в виде суммы простейших дробей:
1 _ M1X + N1 М2х+ N2 (х2 + I)2 ~~ ...
2. Найдем неопределенные коэффициенты M1, M2, N1, N2: ... .
3. Искомый интеграл
хъ dx
+ I)2
8. Используя правило нахождения интегралов вида $R (х, хп ,...,
г
.., xs)dx, вычислите интегралы:
1)
2)
dx
dx
V~x + з У X
X +Зх
TEL-dx= \ -^—dx =
I +X
і = X ; dx = ...
t = хА ; dx = ...
9. Используя правило нахождения интегралов вида
т г
J \ ' \сх + d) 7 '"' \—~d) ) вычислите интегралы:
1) Г y7"r't d* = ||3* + 4=<»; <fc- ... П = ... ; J 1 + /Зх + 4
2> l'^rLdx = \\\ +* = *8; -11= - •
/Зх + 4
48
III. Упражнения для самостоятельного решения
Вычислите интегралы:
1. С *2 + 5' + 6 dx. 2. Г ^5-^ + 4 dx. J (* + 2)(*+3) J X3 + 2*2 + Зх + 6
3. ^~6xa + l2x2+6dx. 4. Г dx . 5. f-f^L. j л:3 - 6?2 + 12* — 8 j (3 — 5х)3 j х3 — 1
6. f-. 7. Г-*-. 8. f-*-.
J хЦх + lf J (х* H- 4) (je — 1) J(JC*+ 3)(** —4*+ 13)
9 Г 3xdx 10 Г_^_ Г yTdy
' J (x» + 2* + 2)» ' * J (X3 + 8)2' ""Jx+r
,2. f J^I=^dx. ,з. (Vj^d*. 14. Г/^ + ^Г + І^
J 4/^+8 JK l+x
15. Г1-,^37 d«.
§ 13. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
I. Основные сведения из теории
1°. Заполните таблицу простейших тригонометрических подста^ новок:
Интеграл
Подстановка
j* R (sin х) cos X dx = ... . * = ....
A = ... .
J /? (cos х) sin я cfc = ... .
t = ... .
A = ... .
^R (cos*, sin x) dx = .... cosx = ... , sin* = ... .
dt = ... .
2°. Закончите формулировку правил:
1. Если п — четное число (п = 2k), то вычисление интегралов вида jcos" X dx, jsin? х dx осуществляется с использованием формул тригонометрии:
. cos 2х о -, cos X =
49
2. Если тип — четные неотрицательные числа, то вычисление интегралов вида §s'mmxcosnxdx осуществляется... .
3. Интегралы вида j smmx cos/zxdx, J sinmxsinnxdx и J cosmx cosnxdx вычисляются при помощи следующих тригонометрических равенств:
sin тх cos пх = Y (sin (т + п)х + sin (т — п) х); sin тх sin пх (cos (m — я) х — cos (т + п) х)\ cos тх cos = — (cos (т — п) х + cos (m + я) х).
11. Примеры к упражнениям
1. Используя табличные интегралы и вводя надлежащие замены, вычислите интегралы:
1) J sin3 xdx = —J sin2 xd (cos x) = —J (1 — cos2 x) d cos x =* ...,
2) J cos3 xdx = ... .
2. Найдите интегралы:
1 \ Г sin3 л: J cos X —
2) f^dx=.
dx =
cosx = ^, X = ... sin X = dx = ..
3. Используя универсальную подстановку tg — = t, найдите
интегралы:
J sin а:
2) f-^- =
J COS X
smx
2*
dx =
1 +/2
2d/ 1 +*2
dx
л
d\x+~
sin
[x+f) Jsin(*+t)
.J 5 + 4 sin jc
sm X =
2/
dx =
2d/
1 +/2
5 -)- sin a; + 3 cos x
1 +/2
5)f—:
J sin**
50
4. Используя тригонометричес-
1_cos 2 х п ~ ~ —
