Задачник практикум по математическому анализу - Егерев В.К.
Скачать (прямая ссылка):
X+ 1
2. Найдите частное решение уравнения у" — 2у' + 10у = 1Ox2 + + 18л: + 6, удовлетворяющее начальным условиям
у = 1, у' = 32.
X=Q х=0
69
3. Найдите частное решение уравнения у" — 2/ = е* (х2 + х — 3), удовлетворяющее начальным условиям у | = 2, у' I = 2
4. Уравнение у" — Зу' + 2у = х решите двумя способами (с применением метода вариации произвольных постоянных и без него).
§20. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ РЯДОВ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ* I. Основные сведения из теории
1°. Закончите следующие определения:
1. Частичной суммой ряда называется сумма .. .
2. Ряд называется сходящимся, если .. .
3. Суммой сходящегося ряда называется .. . 2°. Закончите следующие утверждения:
1. Если ряд сходится, то последовательность его членов .. . Верно ли обратное утверждение? Приведите пример: .. .
2. Геометрическая прогрессия a + aq + aq2 + ... + aqn + ... сходится при условии, что .. .
3. Если геометрическая прогрессия сходится, то ее сумма находится по формуле S=...
3°. Сформулируйте:
а) признак сравнения рядов с положительными членами;
б) признак Даламбера.
4°. Закончите формулировку интегрального признака сходимости ряда:
Пусть члены ряда U1 + U2 + ... + Un + ... положительны и не возрастают, т. е. U1 .. и2 и пусть f (х)—такая непрерывная не-возрастающая функция, что /(1) = .., / (..) = .., f (п) = ..,
OO
Тогда: а) если несобственный интеграл |/ (х) dx сходится, то ..;
і
б) если этот интеграл расходится, то .. .
II. Примеры и упражнения
1. Найдите пятую частичную сумму ряда
1п2 + 1п|+ ... +In^+ - . 2 п
Сходится ли этот ряд?
2. В нижеприведенном множестве рядов найдите ряд, расходимость которого следует из нарушения необходимого условия сходимости ряда:
OO OO OO
а) У (—1)л+1-; б) У In -^-; в) У—=J-—;
п= і ' n=V г у
1 В разделе «Ряды» пропуски в тексте формулировок теоретических утверждений и в решениях примеров обозначаются двумя точками (..).
70
' ^ п VIn п ' ?\ ^ — 2п + 5)2 ' ' (п + *) (Зп — 4)
3. Докажите, что ряд (^7)" расходится.
Доказательство. Здесь ип = .., lim Un
11-* CQ
4. Для каких х справедливо равенство: I+*8 + *8+ ... +х*п +
1 — х3
5. Во множестве рядов, приведенном в примере 2, найдите геометрическую прогрессию и вычислите ее сумму.
6. Из множества рядов, приведенного в примере 2, выберите ряды с положительными членами.
7. С помощью признака Даламбера докажите сходимость ряда
2d зп'
Доказательство.
Здесь: а) Un = Un+1 = ..;
б) I = lim^±i = lim .. = .., I = .., I .. 1, т. е. ряд .. .
8. Сходится ли ряд tgi + 2tg-^ + 3tg-^ + ...?
4 8 16
5/г
9. Докажите, что Hm — = 0.
П->со ЛІ
10. Попробуйте применить признак Даламбера при исследовании 2п
сходимости ряда ^
„=1 «2+1
Замечание. Легко видеть, что если n-й член ряда — дробно-рациональная функция от п, то всегда Z = 1 и признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.
11. Из множества рядов, приведенного в примере 2, выберите ряд с положительными членами, сходимость или расходимость которого может быть установлена с помощью признака Даламбера.
12. Пусть / (X) = Тогда f (1) = I1 / (2) = 1, .., f (п) = 1, .. .
X 2 п
В этом случае говорят, что функция / (х) порождает гармонический I1I11I
ряд 1 +- + _.+ ...+_ + ... . Аналогично ряд порожда-
ется функцией g (х)
х_ п=х
71
Для нижеприведенных рядов с положительными членами найдите порождающие их функции:
я=1 ' /г=1
°° 3 /--
в>2іЛ?тг /(*)=¦••
п=1
OO
13. Найдите \ —г—.
J * ІП JC
2
Решение.
-= Hm \ -..
r X In X ь-*со J л: In л:
2 2
оо
2. f-^—= .. . Интеграл расходится.
J х\п X 2
оо
14. Найдите j #e~~*2 dx. і
Решение.
OO
1. По определению [хе-*2 dx = Hm
\ Ь->оо
Ь-> со
2. \ж~*г dx = .. . Интеграл сходится, і
15. Составьте ряд, который можно исследовать на сходимость с помощью интеграла из примера 14. Сходится ли он?
16. С помощью интегрального признака исследуйте вопрос о схо-
°°
22п
17. Из множества рядов, приведенного в примере 2, выберите ряд с положительными членами, сходимость или расходимость которого можно установить с помощью интегрального признака.
OO j
18. Обобщенный гармонический ряд 2"~^р~> гДе —фиксирован-
ное положительное число, исследуйте на сходимость с помощью интегрального признака Коши. Решение.
1. Ряд сходится, если р .. 1
2. Ряд расходится, если р .. 1.
19. Какие из нижеприведенных рядов сходятся, а какие расходятся (используйте признак сходимости Коши):
/1=1 Г И=і
72
' 9 16 25 Решение.
Ad
і
1. Ряд 2і расходится (р = - < 1). 00 і
2. Ряд (P = ••)•
OO
3. Ряд 2 (P =
OO
4. Остаток ряда 2 после члена. Ряд .. (р = ..). Следова-тельно, исследуемый ряд .. .
00 1
20. Выясните, сходится ли ряд 2 Решение.
В соответствии с замечанием к примеру 10 признак Даламбера здесь неприменим (/ = 1). Воспользуемся признаком сравнения рядов с положительными членами.
