Задачник практикум по математическому анализу - Егерев В.К.
Скачать (прямая ссылка):
2. Пусть функция у = f(x) определена на симметричном множестве X:
1) если выполнено соотношение f (х) = f (—x)t то функция у = = f (х) называется
2) если справедливо соотношение f (х) = —f (х), то функция у = / (х) называется
3) если же не выполнено ни одно из этих соотношений, то функция У (X) ... .
3. Пусть область определения функции у = f {х) вместе с каждым X содержит числа х+ I и х — /, где 1ф0 — некоторое число. Функция у «= / (х) называется периодической с периодом /, если справедливо соотношение: ... .
4. Пусть кривая задана уравнением у = / (я), х 6 [а; 6], причем f (х) существует, тогда:
1) если все точки кривой лежат ... любой ее касательной на этом
36
промежутке, то кривая называется выпуклой вверх на промежутке [а; Ь] или просто выпуклой;
2) если все точки кривой лежат ... любой ее касательной на этом промежутке, то кривая называется выпуклой вниз или вогнутой.
5. Точкой перегиба кривой, заданной уравнением у = / (х), называется точка с координатами отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой.
2°. Закончите формулировку достаточных условий выпуклости и вогнутости функции у = f (х):
1) если во всех точках промежутка [а\ Ь] f" (х) < 0, то кривая у = f (х) ... на [а; 6];
2) если во всех точках промежутка [а\ Ь] f" (х) > 0, то кривая у ^ fix) ... на [а; &].
3°. Закончите утверждение:
Если F (х0) ... или F (х0) ... и при переходе через значение х = X0 производная F' (*о) ••• знак, то точка M (х0\ f (х0)) — точка перегиба. 4°. Закончите определение:
Прямая AB называется асимптотой кривой L, если ... . 5°. Допишите формулы:
Пусть у = kx + Ь — асимптота графика функции у = f (х). Тогда параметры k и Ъ определяются по следующим формулам: a) k = Hm б) Ъ = Hm ... .
Х — оо X-OO
II. Примеры и упражнения
1. Укажите области определения функций;
j 4) у = aresin 2х\
2) У= уТ+з> 5) у - sin2х.
2. Найдите нули (корни) функций:
1) у = In(X-I)- 4) у = 2^;
2) у=х*-9х; 5)у=(1\-\
3) у =sin2x; > у \2J
3. Определите промежутки знакопостоянства функций: 1) у = X3 — 5х2 + 6х;
2)у = 1п^±Л 4)у = ^---
1-х' Xі — 9
3)y = sin-|; 5)y = ln|x|.
4. Укажите, какие из нижеприведенных функций являются: а) четными; б) нечетными:
„,_lnl±i; 8),-Л.(=х)«.^х);
9 _ д~Л' + а* . 4) у = *3 — 9х; ; У ~~ 2 ' 5) у = 1п|х|.
37
5. Найдите периоды функций:
1) у = ¦^3 sin ^2jc +-у
2) у = 25cos(| X + ^
3)y = 15tg(fo*-t.
6. Исследуйте поведение нижеприведенных функций у = / (х) в окрестности точек разрыва и на бесконечности. Сделайте схематические чертежи:
1. у = 2х .
Решение.
-0 + 0 0 — 0
При X при X -при X при ;
2-У = Решение.
-OO
у-
У-У-
У
X2 +X-
1
При X • при
при X -при X ¦
^2 + 0 -2 — 0
• +OO . -OO
(2 — х)2 1
(2—*)2
у-
У"
У У
7. Следуя схеме, приведенной в примере 3 § 8, найдите промежутки монотонности и точки экстремума нижеприведенных функций: б*2 — X4
1) у =
2) у — 1)еЗЛ+1.
8. Найдите промежутки выпуклости (вогнутости) и координаты точек перегиба нижеприведенных функций у = у (х) по схеме:
1) найдите у" (х)\
2) определите абсциссы точек, подозрительных на перегиб;
3) определите знаки у" (х) в достаточно малых окрестностях найденных точек и точек разрыва функции у = у (х)\
4) заполните таблицу:
38
Ly = (х — З)2 (2-х). 2. у =--.
9. Найдите асимптоты графиков функций:
- ч х2 + 2х — 40
1) У =
2) у
2x2 + 7(k — 100' 1 хъ
9 (х- I)2
10. Укажите множество значений функций: 1) и = aresin 2х; 4) у = 25 cos (— х---\\
3) у = 1п|х|; 5)у-(-^г
III. Упражнения для самостоятельного решения
Последовательно выполняя требования пунктов 1—10 предыдущего раздела, исследуйте нижеприведенные функции, а затем постройте их графики:
1. у = -(* — 2)2(* +4). 5. у =(2+*2)<Г*\
2. у =-. 6. у ==-.
X — 2 sin л: + cos *
3. у = ^Inj. 7. у = j/2x — х2 + 2.
4. у = X2 — е""*.
§ 10. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
I. Основные сведения из теории
1°. Закончите определения:
1. Функция F (х) называется первообразной функции f (х) на отрезке [a; ft], если Vx 6 [а; ft] справедливо равенство ... .
2. Если F (х) — первообразная f (х), то причем: а) выражение F (х) + С называется ... функции ... и б) обозначается символом ... .
39
2°. Заполните таблицу:
Правила интегрирования
Простейшие интегралы
1. (j{ (х) dx)'= ... .
2. d (Jf (X) dx) = ... .
3. ^dF(X) = ... .
± h(x))dx=..
5. J(Cf1(X))Ae=»... .
6. Jf (X) dx = F (x) + C:
(ax + b) dx= ... .
1. J xP-dx = ...(аф—\)
3. J> dx = ... .
4. J sin # d# = ... .
5. 6.
cos a: dx — ...
1 dx _ sin2 a:
Mr-
J cos2 л: C
J ]Л?^
J a2+*2 = ' J л;2 — а2 "
M
У X2+ а
3°. Закончите формулировку одного из важнейших правил интегрирования:
Пусть известно, что J/ (x)dx = F (х) + С. Тогда J/ (u)du = где и = ф (я). Например:
J = ^ + С J sin #d (sin #) == ... .
