Задачник практикум по математическому анализу - Егерев В.К.
Скачать (прямая ссылка):
ряющее начальным условиям: а) у
х=0
0; б) у'
= —1.
х=0
9. Силу сопротивления воздуха при падении тела можно считать пропорциональной квадрату скорости. Найдите закон движения, если начальная скорость равна нулю.
Указание. Воспользуйтесь вторым законом Ньютона.
10. Даны уравнения: а) у" + 2у' — у = 0; б) ху" + у' = 1 + х\ в) ху"' = (у")2-
1. Понизьте порядок уравнений. (Что удобно принять за новую неизвестную?)
2. Определите тип полученных уравнений первого порядка.
III. Упражнения для самостоятельного решения
1. Решите уравнения:
a) xY + ху' = 1; б) уу" - у' (1+ у') = 0; в) у" = -Л - г) у' (1 +
+ У'2) = ау"\ д) у'2 — уу" = у2 . у'; е) ху"' + у" = 1 + х; ж) у'"2 = 4у\
2. Найдите удовлетворяющие заданным начальным условиям частные решения уравнений:
а) 1 + / = 2уу"; у
б) у у" + у'2 = у'3; У
в) ху" = УГ+У*; у'
- 1, /I = 1;
X=I X=I
х=0
1, у'
о, у
х=0
= _5_ х=1 4
г) /"'+/''= 1; у
= -1, /'
Jl
Я
= 1.
64
§ 18. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
I. Основные сведения из теории 1°. Закончите определения:
1. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка у" + A1 (х) у' + A2 (х) у = f (х) называется а) однородным, если f (х) и б) неоднородным, если f (х) ... .
2. Линейным однородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами называется уравнение вида у<л)+ а^"^ + + a2y(n~v + ... + Ctn^y' + апу = где аъ а2, ап — ... .
2°. Составьте характеристические уравнения для линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:
а) у" _ + 2у = 0: в) у' + 4у = 0:
б) f + 3/ + I = 0: г) у" + ру' + qy = 0: ... .
3°. Каково общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае, когда характеристическое уравнение имеет;
а) различные действительные корни kl9 k2,
б) равные действительные корни A1 = k2 = k\
в) комплексные корни klt2 = а ± ?#
II. Примеры и упражнения
1. Какие из нижеприведенных уравнений являются: 1) линейными; 2) линейными неоднородными; 3) линейными однородными; 4) линейными однородными с постоянными коэффициентами: а) у" + + 2у' + Vy = 0; б) уу" + tg X = 0; в) ху" + у' = 1+ х\ г) у" + + 2у' — ху = 0; д) у" + 2у = у' tg х; е) sin х = у" — у'\ ж) х2у'"=
= (у")2?
2. Решите уравнения:
а) у" + 2/ - у = 0; б) у" + 4/ + 4у = 0;
в) у" _ 5у' = 0; г) у" + 2/ + 5у = 0. Решение.
1. Составим характеристическое уравнение: ... •
2. Найдем его корни kl9 k2\ ... .
3. Общее решение уравнения: ... .
Для уравнения г) найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям у | = 2, yr I = 0: ... .
I х=0 I х=0
3. Решите линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и проверьте ответы:
а) / — 4у = 0; б) у'" — 8у = 0.
4. Решите линейное уравнение ху" — у' = 0.
5. Цепь длиной 6 м скользит вниз с подставки без трения. За сколько времени соскользнет вся цепь, если движение начинается с момента, когда свисает 1 м цепи?
65
Решение
1. Обозначим через h (t) длину той части цепи, которая свисает с подставки в момент времени t. По условию h (0) = ... м.
2. Пусть р — линейная плотность металла, из которого сделана цепь. Тогда масса всей цепи т = а масса части цепи, свисающей с подставки в момент времени t, равна ... .
3. По второму закону Ньютона F = mh". Цепь скользит под действием веса той части цепи, которая свисает с подставки, поэтому F=....
4. Получим следующее уравнение движения цепи: ... .
5. Решим дифференциальное уравнение движения цепи, где C1 и C2 — ... :
а) примем во внимание начальные условия задачи:
h\ = ... и h'\ = ... ;
I *=о I /=о
б) уравнение движения цепи примет следующий ВИД!
h = — e -А— е
2 2
в) находим время, в течение которого вся цепь соскользнет с под-ставки (учитывая, что еу 6 > 1, так как t > 0): ... .
III. Упражнения для самостоятельного решения
1. Решите следующие линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами:
а) у" + 2/ = 0; б) у" + 9у = 0; в) у" - 6у' + 9у = 0;
г) 4'
dt2
-20- + 25х = 0; д) 25^-10^ + 172 = 0.
dt
2. Найдите решения следующих уравнений, удовлетворяющие заданным начальным условиям:
а) у" + 4у' + 29у = 0; у I = 0, у' I = 15;
х=0 I х=0
б) 4у" + 4/ + у = 0; у
= 2,
X=O
0.
х=0
3. Найдите общие решения уравнений:
а) у"' — 4у" + Зу' = 0; б) у"' — 8у' — Зу = 0; в) у<4> + у" — — 2у = 0.
4. Найдите удовлетворяющие заданным начальным условиям частные решения уравнений:
= 2,
а) Г = у
б) у"' — 2у" + 4у' — 8у = 0; у
у' I = 0, у"
х=0
х=0 ^
= 1, У'
х=0
= 4, у"| = 4.
х=0 х=0
66
§ 19. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
I. Основные сведения из теории
1°. Закончите утверждения:
1. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид: у = Qy1 + С2у2, где уг и у2 a C1 и C2 ... .
