Задачник практикум по математическому анализу - Егерев В.К.
Скачать (прямая ссылка):
Vbx2 — 2* + 1
2)2+1 (—2* — 1 + 9) dx
— (Юл; — 2 + 2)dx 10 v___
5 U
III. Упражнения для самостоятельного решения
Найдите интегралы:
1. 4. 7. 10.
13. 16.
I
dx
2 + 6* + 10
2л:2 — Зл: + 3 7л: dx
2. 5.
1 —
2л: — л2
dz
3z2-
- 3z + Г
(3*
— 8)dx
У і-
-2х — х2
dz
У 3z2
— 32+1
X dx
У х*
л:2 + X — 1
3.
6.
dx
л:2 + Зл: + 0,25 (4л: + 5) dx
2х2 + Ьх + 20 '
dx
Y л:2+ 3*+0,25
(Зл: — 8) dx
Y 2*2 + 5л: + 20
,2-I
:2+6л: + 10 сїл:
У 2х2
— Зл: +3
(Ax
— 5)dx
Y X2+X+ і
§ 12. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ И ПРОСТЕЙШИХ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЕЙ
I. Основные сведения из теории
1°. Закончите утверждение:
Всякую рациональную функцию можно представить в виде рациональной дроби, т. е. в виде отношения двух ... .
2°. Заполните таблицу следующих интегралов от простейших дробей:
1) Г —^— = 2) Г---dx=* если п ^ 2;
J X — a J (х — а)п
3)1 Г A* + B dx= .., 4)- Г М + В
' Jax2 + bx + c ' J (ах* + Ьх+с)л
3°. Закончите утверждения:
1. Всякую правильную рациональную дробь можно представить в
dx =
1 Хотя формула справедлива для любого знака дискриминанта квадратного трехчлена, простейшей дроби соответствует D < 0.
2 Нахождение интеграла этого типа предоставляется студентам для самостоя тельного рассмотрения дома. См.: Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. M., 1972, т. 1.
44
YlpZ- Ax + 5 С (2х — 8) гіл:
J К 1 — л: — X2
виде ... простейших дробей, т. е. справедливо следующее соотношение:
PtM =_Ptix)_— \\t<k + l + 2m+
Q (X) (X - a)k (X - b)1 (х2 +рх + q)m (x2 + rx + s)n
A1 A2 Ak B1 B2
+ 2n\\ =
(x — a) "' (x — o)2 "'(x — a)k'" (x — b) ' ' (x — b)2
M1X + N1 M2x + N2 Mmx + Nm
'"(х- b)1 X2 +px + q (X2 +px+ q)2 (x2 + px + q)m D1X + E1 D2X + E2 Dnx + Zn
x2 + rx+s "' (x2+rx + s)2 '" (X2 + rx + s)n '
2. Правильную рациональную дробь, знаменатель которой разлагается лишь на неповторяющиеся множители первой степени, можно представить в виде суммы простейших дробей, в знаменателях которых стоят ...:
__P1(X)_= _ ^
(X-O3)(X-Cl2)(X-O3) ... (х — ап)
3. Если знаменатель правильной рациональной дроби содержит лишь множители первой степени, среди которых имеются повторяющиеся, то справедливо соотношение
_Рґ(х)_= A1 ^ A2 ^ A3 ^
(X — G1) (х — O2)k (х — Ь{) (х — Ь2)? X — O1 X — O2 (х — O2)2
Ak+i j ві В2 вз Bj+i
(х — a2)k X — b1 X — b2 (х — O2)2 (а: — Ь2)1
4. Правильную рациональную дробь, знаменатель которой разлагается лишь на неповторяющиеся множители второй степени с отрицательными дискриминантами, можно представить в виде суммы простейших дробей, в знаменателях которых стоят...:
_P1(X)__ _ 9
(X2 +P1X + qx) (X2 + р2х + q2) ... (х2 + Pn х + qn)
5. Если знаменатель правильной рациональной дроби содержит лишь множители второй степени с отрицательными дискриминантами, среди которых есть повторяющиеся множители, то справедливо соотношение
_P1(X)_ =
(X2 + P1X + Яі) (X2 + P2X + q2)k (X2 + р3х + q3) (х2 + р,х + qj
4°. Закончите формулировку правил:
т г
1. Для того чтобы интеграл вида IR (х, х п , х s)dx* преобразовать к виду IR (t)dt, надо ввести новую переменную t9 положив t* = ху где k ... .
т г
2. Для того чтобы интеграл вида \R (xj1130 ^~b\ п, (ах^~ \s \dx
V 9\сх+ d) \сх +d] J
1 /?(...) — символ рациональной дроби своих аргументов.
45
свести к интегралу от рациональной функции, надо сделать замену
^±-6 = Л где .
сх+ d
II. Примеры и упражнения
1. Какие из нижеприведенных дробей являются правильными и какие — неправильными:
D 2) ї±1; 3) 4) -^+Ь + ^.
х — 29 'jc + 7' 7 (jc —а)я* ' (л:-2)(л: + 3) '
е. Ах + ? 6ч 4л: + 13 ?. Лл; + ?
'а*2 + &с + с' ' (л:2 + 5л: + б)2 ' (ax2 + frc+c)" '
2. Выделите целую часть неправильной дроби: а) путем деления многочлена на многочлен или б) путем формирования в числителе выражения, равного знаменателю. Представьте рациональную дробь в виде выделенной целой части и правильной остаточной дроби:
D * + 1 _ д:+ 1 +6 — 6 = } х + 7 х + 7
х5_хз + 4 хъ хз+ 4
д;3 + 2л:2 + Зх + 6
л:2 — 2л:...
— 2л:4 — 4л:3 — 6л:2 + 4
— 2х4 — 4х3 — 6х2 — \2х
оч л:4 — 6л:3 + 12л:2 + 6 _ л:6+2л:5 —1
д;3 _бл:2 + 12л: —8 л:3+ 2л:2+ 2л:
3. Вычислите нижеприведенные интегралы, используя таблицу интегралов от простейших дробей:
;J7-/ ^(2* + ?3-' 'J 2*2 + 2х + 3'
(Зл: + 5) dx
(л:2 + 2л: + 2)2
4. Проинтегрируйте рациональную дробь, знаменатель которой разлагается лишь на неповторяющиеся множители первой степени:
Зл:2 + 2л: — 5 ^
(jc+ 1)(^— 1) (*-2) Решение.
1. Выясним, является ли подынтегральная дробь правильной рациональной дробью. Если нет, то выделим ее целую часть: ... .
2. Запишем подынтегральную дробь в виде суммы простейших дробей:
