Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Ф — sin/mp, cos/шр (12.145)
и записать для них условие ортогональности, которое играет существенную роль в теории рядов Фурье (см. гл. 14).
В электростатике и большинстве других физических проблем параметр т должен принимать только целые значения, в результате чего Ф (<р) оказывается однозначной функцией ф. В квантовой механике вопрос гораздо сложнее, поскольку требуется однозначность величины Ф*Ф. Однако можно показать, что, по-прежнему, следует брать целые т, иначе для токов получаются бессмысленные выражения.
Уравнения (12.142) и (12.83) инвариантны относительно замены т -> — т, однако мы еще не определили присое- 12.6. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
495
диненные полщюмы Лежандра P™ (cos 0) для отрицательных т. Чтобы определить эти полиномы для отрицательных т, можно просто положить
Pn (cos0)-Plml(cos0), m = 0, ± 1, ±2, ... (12.146)
Можно также использовать определение присоединенных полиномов Лежандра (12.84), в котором Pn заменяется по формуле (12.65), в результате чего имеем
Pn (cos0) = (1 -*Т/2(X2-1 )п. -п<т<п.
(12.147)
Теперь уже tn может принимать отрицательные значения
вплоть до —п. Далее, очевидно, что Pn (cos 0)-0 при т > п. Следовательно, как и указано, индекс tn должен изменяться в пределах — п tn < п. Такое определение присоединенных полиномов Лежандра для отрицательных tn позволяет использовать одни и те же соотношения как для tn>0, так и для т < 0.
Пронормировав присоединенный полином Лежандра с учетом равенства (12.106), получим ортонормированную функцию
(COS 0) = Р» <CQS o>- -«<«<«.
(12.148)
Можно показать (см. упр. 5 к разд. 12.5), что
РГ (cose) = (-1)1" [-^gC (cos в), (12.149)
поэтому уравнение (12.148) выполняется как для положительных, так и для отрицательных tn.
Функция Фт (qp) ортонормирована относительно азимутального угла ф, в то время как функция (cos 0) ортонормирована относительно полярного угла 0. Рассмотрим произведение этих двух функций
У?(Є, Ф) -5?! Pn (COS Є) е'"*. (12.150)
Функции Yn (0, ф), зависящие ОТ 0 И ф и от двух индексов, ортонормированы на сферической поверхности; их назьі- 496
ГЛАВА 12. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
вают сферическими функциями. Полное условие ортогональности приобретает вид
2л л
5 J у«г (в, V) Ynl (в» ф) sin 9 d9 гіф = бщ, п2бті, W2*
(р=0 8=0
(12.151)
Приведем явный вид нескольких функций Yn (0):
у: (в, ?)=-4=.,
У 4я
ф)=-|/-Jrsineei*, = Z-^-COS 9, П'(9,Ф)=+}/-Jr sin ве-«ф, ^(9,Ф) = ]/ j^Ssin'te«»,
1
Г
(12.152)
Y12 (0. Ф) = - У 3 sin 0 cos 0еІф' у-1 (0, ф) = + )/^ 3 sin 0 cos 9е-*ф,
Ф) = /і3sin20е"2іф-
Заметим, что в соответствии с уравнением (12.149) функции
Ynm и Yn отличаются друг от друга множителем (—1)т. Иногда, в квантовой механике, например в квантгівой теории момента количества движения, множитель (—1)т связывают с положительной сферической функцией. Этот множитель называется фазой Кондона — Шортли. [Очень часто этот фазовый множитель опускают и определяют
функцию Ynm с отрицательным т с помощью уравнения (12.150), полагая, что w = YTY
Ряд Лапласа, основная теорема разложения. Сферические функции обладают свойством полноты, что является !2.6. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
49?
следствием записи уравнения Лапласа в форме Штурма — Лиувиллй. Благодаря свойству полноты любую функцию f (0, ф) (если она обладает нужными свойствами непрерывности), заданную на поверхности сферы, можно разложить в равномерно сходящийся двойной ряд по сферическим функциям * (ряд Лапласа):
/ (е, ф) = SamnKn (0, Ф). (12.153)
W1 П
Если функция f (0, ф) известна, то, воспользовавшись свойством ортогональности, можно немедленно определить коэффициенты этого разложения.
Упражнения
I
1. Доказать, что Yf (0, <p)= (?!)*'^
2. В теории кулоновского возбуждения ядер встречается функция Yf (я/2, 0). Показать, что
vWu О U ( 2L + X V/2 KL-M)\(L + M)\)V2 (L+M)/2
L\2' / V 4 n I (L-M)!! (L-fM)!! K '
для четных L-\-M
= 0 для нечетных L-f-M,
где (2rt)u = 2n (2n—2)... 6-4-2, (2n+1)!! = (2л + i)(2n— 1)... 5-3-1
3. Выразить элементы тензора квадрупольного момента X1Xj в виде
линейной комбинации сферических функций Yf (и Ко).
4. Уравнения Максвелла в сферическгіх координатах имеют решения
f * р 1 1 д д
Er==T>Е* = Т(Е+1Г' T' W 'W W'
P 1 1___д_( п
ф~ L(L-fi) ' г sine ' дф ' дг D —/со і д ч
Вф=Г(ГП)7217,Ж(г^
* Доказательство этой фундаментальной теоремы см. в книге Hobson Е. W. The Theory of Spherical and Ellipsoidal Harmonics, N.Y., Chelsea, 1955, Ch, VII,
35M257 498
ГЛАВА 12. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
где \|)(Г, 9, ф, t) — R (г) в (9) Ф (ф) eiw*, а функции Rt Q и Ф удовлетворяют уравнениям
г2 dr\ dr J^ \ с* г2 )* и' 1 d / . л de \ , Г, ,, . ,S т2
Щ2ф = 0.
sine dQ
<Іф2
Показать, что при L=I и т = О
^^-•[-Г-ЗДг+тЙг]'
12.7. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Тригонометрическое тождество. В последующем изложении (B1, фі) ,и (02, Фг) определяют два разных направления в сферической системе координат, угол между которыми равен у. Эти углы связаны тригонометрическим тождеством
