Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
?пп \ъ/ ^mn
(Q Фт (ф), (12.238)
т, п 520
Г JI А В А 12. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
(12.239)
Учитывая аксиальную симметрию задачи, нужно положить т = 0, что будет означать исключение из рассмотрения всех присоединенных функций Лежандра. Однако остается еще определить функции Pn и Qn вещественного и мнимого аргументов.
Запишем граничные условия для самого простого случая проводящего сплющенного сфероида: V = 0 на поверхности сфероида: E=Eo, V ->- -BoflSE для где B0 — первоначальное невозмущенное электрическое поле. Чтобы получить зависимость от переменной J1 нужно положить п — 1, а В = 0 (если В Ф 0, то при 5=1, On (О = оо), поэтому
Поскольку С —>оо, функция Qi(/Q—>0. Из второго граничного условия
V (1Л) = U-ЕЛ+ В' (СarcctgE- 1)]. (12.242)
Первое граничное условие говорит о том, что потенциал V обращается в нуль на поверхности сфероида C = So или
К (6, С) = P1 (I)IAT1«)+ BfQ1PQJ -
= I [A'il + Bt (Е arcctg E - 1)1. (12.240)
А! ~ іЕ0а,
(12.241)
после чего получим
0 -1 [-E0al0+ В' (Eoarcctg Eo-1)1, (12.243)
откуда
В' =
Eoato
(12.244)
?о arcctg Eo-1
Окончательно
V(l 9=-BoflECo (
І ? arcctg S-1
), Е>Ео- (12.245)
Со Eo arcctg ^o-1
Таким образом, для получения искомого потенциала мы просуммировали решения уравнения Лапласа. Произвольны 12.10. СФЕРОИДАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 521
постоянные определялись из условия соответствия решения граничным условиям. В результате мы получили выражение (12.245). Наконец, известно, что решение единственно (см. разд. 1.15).
Аналогичная задача, но уже со сферой (см. разд. 12.3) представляет собой частный случай рассмотренной. Предельный переход Со 00 > а 0 при o?0 = г о сводит систему координат сплющенного сфероида к обычной сферической.
Если сплющенный сфероид изготовлен из диэлектрика с диэлектрической постоянной е, первое граничное условие запишется иначе:
V и Dn= ^ непрерывны в точке C = Co*- (12.246)
Предположим, что электрическое поле внутри диэлектрика постоянно по величине и параллельно оси симметрии г **, Наша задача как раз заключается в проверке этого предположения. Воспользуемся граничными условиями па бесконечности
Vniiera = El-* Ефі В'(с arcctg С - 1)],
^bh утр— ^виутрЯЕС* (12.247)
В точке С — Со условие (12.246) дает
-ЯвнутрОСо= - Еоа^+ Я' (Со arcctg Со-1), (12.248) е? внуTpfl = E0Eoa - г0В' (arcctg Со - j^g-) , (12.249)
множитель h^ сократился. Исключая из этих уравнений В\ находим, что отношение первоначального электрического поля E0 к полю внутри диэлектрика ?вн равно
-А- = 1 + (~ - 1) (H Й) (1 - Со arcctg Со) • (12.250)
свпутр V to J
Определим коэффициент деполяризации L соотношением
E внутр — EQ LP1 (12.251)
* Это эквивалентно требованию непрерывности тангенциальной компоненты Е.
** Другая возможность заключается в представлении потенциала внутри сфероида в виде суммы решений уравнения Лапласа аналогично (12.238), 522
глава 12. функции лежандра
где поляризация P = Eliuyrp (г — е0)- Решая это уравнение относительно Lf получаем
/- = ^r(H-G)(I-CearcctgE0) (12.252)
как функцию геометрии сплющенного сфероида.
В пределе при Со —^ оо получим величину, соответствующую диэлектрической сфере, •
Iim L = 1/Зб0, (12.253)
. ?->00
а при Со О — величину для тонкой пластины диэлектрика, перпендикулярной к однородному электрическому полю:
IimL=IM0. (12.254)
Координаты вытянутого сфероида. Задача о вытянутом диэлектрическом сфероиде, помещенном в однородное электрическое поле, решается аналогично предыдущей, но в системе координат вытянутого сфероида. Используем формулы преобразования *
X = р cos ф, у = р sin ф, г = а\т), (12.255)
т)--сІін, 1<г]<оо; C = Cost;, —1<?<1;
р = a [(I-C2) (Tl2-I)Iv2. (12.256)
Если записать лапласиан в переменных т], ф (см. уравнение (2.105)1, переменные можно разделить. По переменным С и ті возникает присоединенное уравнение Лежандра. Зависимость от переменной ф выражается уравнением гармонического осциллятора. Следовательно, V (I, т), ф) имеет ту же самую форму, что и V (С, С> ф) [выражения (12.238) и (12.239)1, но аргумент заменен на вещественную величину т|. Положим, т = О и воспользуемся свойством азимутальной симметрии и граничными условиями, тогда потенциал вне сфероида выразится как
Квнеш = I [л'Tl + Br (і п In - 1) ] . (12.257)
«
Предоставив читателю самому проследить промежуточные этапы по аналогии с предыдущей задачей, которая решалась в системе координат сплющенного сфероида, мы,
* Здесь мы в точности следуем разд, 2.10. І2.І0. Г.ФІІРОІІДЛЛЬНЬїE СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
523
наконец, получим коэффициент деполяризации /,:
HrW-1)(%1"??-О- (12258)
где поверхность т| = у]0 представляет собой вытянутый сфероид. в пределе при "По-*" ^ вытянутый сфероид переходит в бесконечно длинную тонкую нить. Как и следует ожидать,
lim L-- 0. (12.259)
TJo-+і
С другой стороны, при
-Iim L = (12.260)
ТІ0-+ОО 6zO
мы снова получаем сферический случай.
Целесообразно отметить, что рассмотренные задачи электростатики на практике встречаются не очень часто, тогда как соответствующие проблемы с магнитным полем гораздо важнее и имеют большее распространение. Изучение пара- и диамагнитных сфероидов в однородном магнитном поле проводится совершенно аналогично. И та и другая задача основана, на решении уравнения Лапласа.
