Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арфкен Г. -> "Математические методы в физике" -> 127

Математические методы в физике - Арфкен Г.

Арфкен Г. Математические методы в физике — М.: Атомиздат, 1970. — 712 c.
Скачать (прямая ссылка): matematmetodivfizike1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 121 122 123 124 125 126 < 127 > 128 129 130 131 132 133 .. 185 >> Следующая


j Р7(X)Ff Wdx = ^Ffl -і -і

(12.95)

где X s (х2 — 1). 486

«ГЛАВА 12. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА

і і

Пусть р Ф q, причем, для определенности, р < q. Отметим, что т одинаков для обоих полиномов (это существенное условие). Далее снова проинтегрируем по частям, все проинтегрированные части равны нулю из-за множителя X = X2 — 1. Проинтегрировав q + т раз, получим

і

Pp M Pq M dx



*

(_l)m(_ipm 1J dq+m , dp+m Ч ?

-1

Подынтегральную функцию из правой части этого равенства раскроем по формуле Лейбница:

уд ^m ( ут <Р»те ур\ _

dx*+m \ dxP±m ) ~~

i=q-fm

= X' S .,<'+*» (12.97)

^J ||(<7+т—0! dx')+m~l dxP+m+i і—О

Поскольку в члене Xm показатель степени х не больше 2т, имеет место неравенство

g + /n-i<2m, (12.98)

т. е. производная равна нулю. Аналогично

p + m + i<2p. (12.99)

Решение этих неравенств относительно индекса і. будет ненулевым, если

i>q — tn, i^p^m. (12.100)

Но по предположению р < <7, поэтому решение отсутствует, следовательно, и интеграл равен нулю. Очевидно, такой же результат должен быть и при р > q.

Если р = </, остается один член, соответствующий i = q — m. Подставив результат (12.97) в уравнение (12.96), получим

і

т

I

[РдШ (X)I2 dx

-і 1

M)W(?+m)l f ™ I d«« / dn xq\ . 12 j n

-і 12.5. присоединенные полиномы лежандра 487

Поскольку

Xm = (*« - 1 )m = X2m - тх2т~2 + ..., (12Л 02) ^Хт = (2т)!, (12.103)

уравнение (12.101) сводится к следующему:

с2-104)

-і -і

Интеграл справа равен

(-l)'jsin^8d6 = (rUMi! (,2.105) 0

(см. упр. 1 к разд. 10.4). Комбинируя (12.104) и (12.105), можно записать условие ортогональности і

или в сферической системе координат

я

j Р»(cos0)Р?(cos0)SinBde = зі_.Й±2|ли. (12.107) о

Условие ортогональности полиномов Лежандра следует как частный случай из этого результата, если положить т = 0, при этом из условия ортогональности (12.106) сразу же вытекают условия (12.43) и (12.48).

Можно сформулировать условие ортогональности для присоединенных полиномов Лежандра, у которых нижние индексы одинаковы, а верхние различны. В этом случае (см. упр. 3) і

j PtWPiW(I-*)-1 ^ = 1??-'(12Л08> -1

Обратим внимание на появление нового весового множителя (1 —X2)"1.

Магнитное поле замкнутого тока. Как и другие уравнения математической физики, уравнение для присоединенных полиномов Лежандра часто возникает совершенно 489

глава 12. функции ЛЕЖАНДРА

неожиданно. В качестве примера рассмотрим магнитное иоле В и магнитный векторный потенциал А в экваториальной плоскости от кругового тока (рис. 12.8).

Из электромагнитной теории известно, что элементу тока / dh соответствует магнитный векторный потенциал

4я г

(12.109)

Беря за основу эту формулу, а также учитывая симметрию системы, мы замечаем, что А имеет только одну (р0-компоненту, не зависящую от ф:

А = фЛМ)- (12Л1°)

Из уравнений Максвелла

VxH = J (D == 0, в единицах МКСА), (12.111)

где J — плотность тока. Поскольку

P0H-B = VxA, (12.11-2) имеем

VxVXA-PoJ- (12.113)

В этой задаче J всюду равна нулю, за исключением проводника, по которому течет ток. Следовательно, вне проводника с учетом равенства (12.110)

Рис. 12.8. Закон Био — Савара в применении к круговому току.

VxVxq)oAp(Г, 0) = 0.

(12.114)

Расписывая ротор в сферических координатах (см. разд. 2.4), имеем



M

ф

VxVxtpоАр(г, 0)

2 дАц 1 д*А

дг2

Г дг г2 002 f2 deLL&o/1<pJ-

(12.1 lb)

! 12.5. ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА 489

Полагая Лф (г, 0) = R (г) в (6) и разделяя переменные, получаем

r'^+2rf-n(n+\)R = 0, (12.116)

^ + ctge^ + «(«+l)e-sl?-e = 0. (12.117)

Второе уравнение есть уравнение для присоединенных полиномов Лежандра (12.83) с т=1, поэтому можно сразу записать решение:

в (0) = Pi(cos0). (12.118)

Константа разделения положена равной п(п-{-1) с тем, чтобы обеспечить требуемое поведение решения.

Возьмем R (г) = г«, тогда а = п, —п—1. Первое значение а следует отбросить, так как решение должно исчезать при г—>оо, поэтому

V -7kr Pn (COS 0) = cn (±)n+I P1n (cos 0) (12.119)

и

OO

ApMHS ^n (f)n+1 PHcos0), (r>a). (12.120)

n=i

Вследствие симметрии задачи Лф должна быть инвариантной относительно отражения в экваториальной плоскости

Др(г, cos©) = Др(г, -COS0), (12.121)

поэтому, учитывая условие (12.93) о четности функции

Pn (cos 0), следует, что Cn = O для четных п.

Для полного определения постоянных можно взять формулу (12.109), вычислить компоненту Bz [Bz = Br (г, 0 = О)] и сравнить ее с выражением, полученным из закона Био—Ca-вара:

v ><А H Fike [ W (sin e^) ] = 2T-0 +т • ^ •

(12.122) 490

ГЛАВА 12. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА

Используя соотношение

(12.123)

(12.124)

(12.125)

(12.126)

С другой стороны, можно также записать

Be(г, 9) =-1.?^= 2 CnZi-^P!,(cosЄ) г>а.

Tt-і

(12.127)

Закон Био—Савара утверждает, что в единицах МКСА

(12.128)

Проинтегрируем теперь по периметру проводника (радиус а); магнитное поле вдоль оси г равно kBzy причем '
Предыдущая << 1 .. 121 122 123 124 125 126 < 127 > 128 129 130 131 132 133 .. 185 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed