Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
+ [л (л + 1) - (я + X + 3) (л + M- 2)] 6-Х-2 = о (12.202)
или
. _ (и+Х+1)(* + *.+2) А П9 9П^
= (Я+2)(2« + Я+3) ^ (12<203)
Это дает
(п4-1)(п+2)(п + 3)(*+4) 4 . I П2204)
причем
и ___(^-f 1) (ft-j-2) . ¦. (n-f2s)_, П9 9П,
U~u ~ 2.4 ... (2s) (2л -f 3)... (2л + s)... (2n -f 2s+1Г 0' V1
Полученное решение можно также записать так:
„W-6(«2.206)
(/її)2 (2/i-f 2s-f-1)1 »=-0 12.9. функции лежандра второго года sj і
Одна из обычных форм записи второго решения получается, если выбрать
С2'207»
откуда следует, что
OO
Qn (х) = 2V-' S ':,?+Jж (12.208)
S=o
Прямой подстановкой убеждаемся, что Qn (л;) для X2 > 1 удовлетворяет тем же самым рекуррентным соотношениям, что и Pn (х). На рис. 12.10 показано поведение функций
QoW» QiW и Q2 W-
Решение в замкнутой форме. Часто требуется представить второе решение Qn (г) в замкнутой форме. Это можно сделать с помощью метода, рассмотренного в разд. 8.5. Запишем
г
Qn(Z) = Pn (г) {Ап+Вп j (1„^nW|2| , (12.209)
где постоянная An включает в себя значение интеграла на произвольном нижнем пределе. Обе постоянные, An и Bn, могут быть определены для некоторых специальных случаев.
Для п = 0 уравнение (12.209) принимает вид с учетом разложения Маклорена для логарифма
Z
Q0(z) = P0(z) {Л,+В„ j р-^—} = - Л+ B^ 1п1±| =
= Л0+В0(г + -J-+*-+...+JgL+...) . (12.210)
Сравнивая его с решением, записанным в виде ряда (12.187), получаем
Q0(z) = ?0(z) = z + ^+^-+...+Ur+..., (12.211) Рис. 12.10. Функции Лежандра второго рода Qn (х) при 0 < X < 1 (а) и при X > 1 (б). 12.9. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА ВТОРОГО РОДА 514
следовательно, Л0 = 0, BQ~. 1. Проделаем аналогичную процедуру для п=-. 1. Тогда
г
= A1? +B1Z , (12.212)
разлагая его в степенной ряд и сравнивая с Qi(Z) = — — Pi(Z)7 получаем, что Л = О, B1=I. Следовательно,
CoW = Jln-Jif, Ql W = J In 4?--1, |2|<1.
(12.213)
По-видимому, наилучший способ получения функций Qn (г) более высокого порядка состоит в применении рекуррентного соотношения (12.17), которое можно проверить как для X2 < 1, так и для х2> 1, подставляя в него решения в виде рядов.
Так можно получить
Q2 (Z) = у Рг (Z) In - 4 P1 (г). (12.214) Последовательное применение рекуррентной формулы дает
Qn(Z) = ^Pn(Z)
- Pn_t (г) - 3?? /Va (г) - ... (12.215)
Множитель In 1(1 + 2)1 (1 — z)] говорит о том, что при вещественном Z записанные выше выражения справедливы для I X I < 1. Если необходимо записать решение в замкнутой форме вне этого промежутка, то для этого нужно только заменить Bn на BnIn (—1). В этом случае
Qo(Z) = -J- Infij-, (12.216)
Q1 (г) = ^lniii--Il |2|>1ит. д. (12.217)
В самом деле, эти выражения справедливы во всей комплексной плоскости, если ее разрезать вдоль вещественной оси на отрезке —В комплексной плоскости, где
33-1257 Г)14 ' г л А її Л 12. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
логарифм — многозначная функция, нужно проявлять особую осторожность. Например,
In (-1) - In epnnid = + 2пт, (12.218)
где п — любое целое число. Читатель может проверить сам, что уравнения (12.216) и (12.217) согласуются с (12.208). Именно из этих соображений и был выбран коэффициент 60.
В следующем разделе нам понадобится функция Qn (у) чисто мнимого аргумента. Взяв за основу выражение для этой функции в виде ряда для | z |> 1, можно записать
сю
Q.M = (-i)"«2V" S (12.219)
8=0
где у заменено на iy. Для этой же функции, но записанной в замкнутой форме, удобно представить логарифм в виде
1115FT (¦ • •) =Г*т1*У-
(12.220)
Подставим формулу (12.220) в уравнение (12.215), после чего получим
Qn (iy) = ¦-Pn (iy) (- 2i) arcctg у -2^ Pn-i (iy) -
--щЕ^-Рп-s №-..., (12.221)
в частности,
Qoto)= - і arcctg у, (12.222)
Ql(Iy)^yarccigy-I. (12.223)
Эти функции имеют разрыв в точке у — 0, поэтому выражение (12.221) определяет функцию Qn (iy) для всех вещественных у, заключенных в промежутке 0<*/<оо.
Для удобства приведем некоторые специальные значения Qn (2): так, Qn (1) = оо вследствие наличия логарифмического члена в выражении (12.215); Qn (оо) = 0, как это следует из представления рядом (12.208). Из представления функции Qn (z) в виде ряда можно получить соотношение
Qn (— 2) = (— l)'l+1 Qn (г), откуда вытекает, что Qn(O) = O для четных п. Кроме того, 12.0. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА ВТОРОГО РОДА
515
из уравнения (12.195), так как р„ (0)--=1, следует
Qn (0) = ,)(4-1)/2 {[(д —1)/211}2 2»-і 1Г т
п\ ' (2s+1)1!
для нечетных п ¦— 2s -Ь 1.
Для функций Qn (z), так же как и для функций Бесселя, можно записать определитель Вронского*:
(1 - г2) \Рп (Z) Qn (Z) - Pn (Z) Qn (Z)] - 1, (12.224)
где л = 0, 1, 2, 3, ... Если воспользоваться уравнением (12.26) для вычисления производных Р'п и Qn, то написанное выше соотношение сведется к
Pn (Z) Q1^i (Z)-P(Z) Qn(Z)=-~ • (12.225)
'V
Присоединенные функции Лежандра второго рода Qn (х) можно определить по аналогии с присоединенными полиномами Лежандра, как это было сделано в разд. 12.5. Аналогично уравнению Ц2.84) можно записать
