Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
«
получим
^(O) -(-')"' ''-(-')"g^jfi- (12-34)
Ptoti(O) = O1 п =--0, 1, 2, ... (12.35) 12.2. РЕКУРРЕНТНЫЙ СООТНОШЕНИЯ
471
Четность. Некоторые из полученных результатов можно считать прямым следствием свойств четности полиномов Лежандра. Если заменить в производящей функции (12.4) X на —Xj a t на — t, то она не изменится. Следовательно,
SV, — jc) = [1 — 2( —/)(—-JC)—/)2]~1/2 =
CO OO
= S P»(-*)(-Q*= S Pn(X)In, (12.36)
П=0 71=0
откуда
Pn(-x) = (-\)nPn(X), (12.37)
ц. е. полиномы являются четными или нечетными функциями (относительно X = 0, 9 = я/2) в зависимости от четкости или нечетности индекса п. Это свойство четности, цоторое играет важную роль в квантовой механике. Для ментральных сил индекс п характеризует орбитальный момент количества движения, следовательно, четность оказывается связанной с этим моментом.
Проверить закон четности для полиномов Лежандра можно, используя либо решение, записанное в виде ряда, либо полиномы (12.19). Отметим, что результат (12.37) в какой-то мере следует уже из рекуррентной формулы (12.17). В самом деле, если Pn^1 (х) и хРп (*) четны, то и полином Pn+1 (х) также должен быть четным.
Наконец, производящая функция позволяет установить верхний предел абсолютного значения | Pn (cos 9) |. Мы имеем
(1 - 2t cos 0 -f /2р1/2 - (1 - 1/2 (1 - te-iQ)~1/2 =
= ( 1+Ife«4{''e2i4. - -) (1+у/е-Ч-|*2Є"2ІЧ.. -) •
(12.38)
Полином Лежандра Pn (cos 9), который служит коэффициентом при tn, можно теперь записать как сумму членов вида ат cos т 0 с положительными коэффициентами. Очевидно, сумма этого ряда достигает максимума, когда 0 --- 0, т. е. cos т% = 1. Но при х = cos 0 =1 Pn (1) — 1. Следовательно,
j Pn (cos 0) I Pn (1) — 1. (12.39) 472
глава 12. функции лежандра
Упражнения
1. Показать, что Pn(cos0)> — 1, причем нижняя граница достигается при нечетном п для cos 0=1.
2. Из уравнения (12.38) выписать коэффициент P^ (cos 0) при /2, выразив его через cosnO, п<!2.
3. Показать, что, дифференцируя производящую функцию g (t, х) по t, затем умножая полученный результат на 21 и прибавляя к нему g (t, х), можно вывести соотношение
OO
о-ІГ^-Я»+»™«
которое используется при подсчете заряда, индуцируемого на заземленной металлической сфере точечным зарядом q.
4. Считая заданными Po и Pi, • с помощью рекуррентной зависимости между Pnt Рп+1 и Pn-1 показать, что Pn (cos 0) = - (-OnP* (-cos 0).
5. Точечный электрический октуполь можно построить, расположив точечный электрический квадруполь мощностью р(2) в точке г=a, a равный ему, но противоположный по знаку электрический квадруполь в точке Z=O с последующим переходом к пределу а->-0 при условии р(2>а=Const. Определить электростатический потенциал, соответствующий точечному электрическому октуполю. Показать, что по смыслу построения точечного электрического октуполя соответствующий потенциал можно получить дифференцированием потенциала точечного квадруполя.
в. Исходя из равенства
1 Ль
Pl (cos 0) = -JJ. -^t (1—2/ cos 0+/2)-1/2
dt
і=о'
показать, что Pl(I)=I, Pl {—1) = (-7. Доказать, что Р'п (I) = -^Pn (х)
)L.
12.3. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ
Дифференциальное уравнение Лежандра (12.26) можно записать в форме
д- [(1 - X2) Pn WH- п (п+1) Pn (X) = 0, (12.40)
откуда ясно видно, что это уравнение самосопряженное. Известно, что в таком случае при условии выполнения определенных граничных условий решения P71 (х) будут ортогональными, Воспользуемся методом теории Штурма —' 12.3. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ
473
Лиувилля (см. разд. 9.2). Умножим уравнение (12.40) на Pm (х) и вычтем из него соответствующее уравнение, поменяв в нем местами индексы тип. Результат проинтегрируем в пределах от —1 до +1:
і
J {р™ W Tx К1-*2)р» MlM Tx К1-*2) ^m (*)]} dx=
1
= [т(т+\)—п(п +1)] [ Рп(х)Рт(х)dx. (12.41)
Л
Интегрируя по частям и учитывая множитель (1 — дс2), получаем
і
[т(т+\)-п(п +1)] Г (X)Рт(х)dx = 0, (12.42)
—і
тогда для тфп
1 я
J Pti(*)Pm(*) = 0, J Pn(cos0) Pra(cos0)SinOdQ = O1
-I 0/
(12.43)
откуда следует, что Pn (х) и Pm (*) ортогональны на отрезке 1—1, Ib Ортогональность полиномов Лежандра просто устанавливается с помощью формулы. Родригеса (см. разд. 12.4, упр. 1).
Вычислим интеграл в выражении (12.42), когда т = п. Из определения производящей функции
(1-2** + *2)-1 = [fj Pn(x)tn]2. (12.44)
n=0
Проинтегрируем обе части этого выражения по х от — 1 До +1:
} OTjT2= І JftWle*- (12.45)
-1 n=0 -і
Перекрестные члены ряда при интегрировании обращаются в нуль в силу условия (12.43). Сделаем замену переменной 474
ГЛАВА 12. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
у = \ —2tx + t2:
і (і+*)*
ІТ=Е+Р-І J (12.46)
-1 (!-<)«
Разложим выражение (12.46) в степенной ряд (см. разд. .5.6 и 5.7):
со
X^HSA- С12-47)
п=0
Как известно, разложение в степенной ряд единственно, поэтому
1
'j IPn(X)]*dx=^. (12.48)
-1
Разложение функций в ряд по полиномам Лежандра.. Из теории Штурма — Лиувилля следует, что полиномы Лежандра ортогональны и, кроме того, образуют полную систему. На основании этого предположим, что ряд
