Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
12.4. ДРУГИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОЛИНОМОВ ЛЕЖАНДРА
Формула Родригеса. Представление полиномов Лежандра [рядом (12.8)] можно видоизменить следующим образом:
[п/2]
Р.И- 2 ( I)""2"г1 (а——2г)1 (12.63)
г=0
Для целого п
[п/2]
г=О
п
__L (AV V ?-1)'*1 .^2п-2г П2 64)
-2nn\\dx) Zj r\(n-r)\ х т V*-**)
г-0 478
»
Г Л Л В Л 12. ФУНКЦИИ ЛЕЖЛПДРЛ
Следует обратить внимание на увеличение верхнего предела суммирования. Внесение дополнительных (п/2) + 1 членов в сумму не дает никакого вклада. Однако эти члены позволяют просуммировать выражение (12.64), в результате чего имеем ({юрмулу Родригеса
p»w=24гШ>-'>п- с2'65)
которая широко применяется для доказательства многих свойств полиномов Лежандра, в частности их ортогональности.
Интеграл Шлефли. Формула Родригеса позволяет получить интегральное представление Pn (г). Используя интегральную формулу Коши
/(г) = (2»-1)", (12.67)
1^ = Si S1Tira- <12-68>
Дифференцируя последнее выражение п раз по г и умножая результат на 1/2пя!, окончательно получаем интеграл Шлефли
= С2'69)
где точка t — г лежит внутри контура интегрирования. Маргенау и Мэрфи исиользовали этот интеграл для вывода рекуррентных соотношений, которые здесь получены из производящей функции. Непосредственной подстановкой легко показать, что интеграл Шлефли удовлетворяет уравнению Лежандра
(1 (л-И) Р» =
Для целых п функция (t2 — 1 )n+1/(t — z)n+2 однозначна, поэтому интеграл по замкнутому контуру равен нулю.
с
получаем 12.4. ДРУГИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОЛИПОМОВ ЛЕЖАНДРА 479
С помощью интеграла Шлефли можно определить Pv (г) и для нецелых v, при этом контур интегрирования должен охватывать точки t ~ z, t = 1, но не должен пересекать линию разреза от —1 до —оо (рис.. 12.5). Точно так же внутрь контура интегрирования можно включить точки і — г и t = — 1, но это не дает ничего нового. Контурное
Рис. 12.5. Контур интегрирования для интегралл Шлефли в ^-плоскости. *
интегрирование вокруг точек t = + 1 и t = — 1 приводит ко второму решению Qv (z), о котором пойдет речь в разд. 12.10. Замена переменной
t==z + VlF-i& (12.71)
при условии Re Z > 0 включает внутрь контура интегрирования точку t — + 1, но оставляет вне его точку t — — 1. В результате получим первое интегральное представление Лапласа:
P м- 1 ^2П(г2-і)та/2еіпф(г+V^-Tcosф)п/V^iTei(p__ п U Зш ^ 2" (Vi^TeiT+1
2л
= ~ j (z-\-уг^Л cos ф)п Жр. (12.72) о
В качестве контура интегрирования взят круг радиусом
I Vz2 — 1 I с центром в точке t = Z (рис. 12.6). Заменив п на — rt — 1 (дифференциальное уравнение инвариантно относительно такой замены), получим второе интегральное 480
ГЛАВА 12. ФУНКЦИИ ЛІ-ЖЛИДРА
представление Лапласа
2я
{ (г+ Vtt cosq>)-"-%. (12.73)
0
В упр. 3 (см. ниже) поясняется, почему в качестве индекса взято /г, а не — п — 1. До сих пор, несмотря на непосредственное и важное физическое толкование, производящая функция фактически не вошла ни в какие соотношения. По-видимому, логически это можно сделать только сейчас,
не оставляя никаких неясностей. Используем подстановку
t~Z + У Z2- 1 COS ф»
(12.74)
которая приведет интеграл (12.73) к виду
Pn (г) -
_ -L ? l~n~l fit
"Sil/У [l_2/z+/2]1/2 ' п — целое. (12.75)
В этом интеграле внутри контура интегрирования содержится начало координат. При нецелом п точка t = О оказывается точкой ветвления, а интегрирование будет про-
водиться вдоль петли вокруг особых точек t = Z db УZ2 — 1
Рис. 12.7. Контур интегрирования для функции PJz) при нецелом v.
по часовой стрелке (рис. 12.7). После нахождения вычетов (см. разд. 7.2) оказывается, что интеграл (12.75) является коэффициентом при tn в разложении производящей функ-
Рис. 12.6. Контур интегрирования для интегрального представления Лапласа. Ї2.5. ИІПНЮЕДИППІПіЬГЕ ПОЛЙНОМЫ ЛЕЖАІІДМ Ш
ции (1—2tz +t2)-l/2> \t2 — 2tz\< 1. Таким образом, взяв за основу интеграл Шлефли (ранее показано, что он удовлетворяет уравнению Лежандра), мы пришли к производящей функции для полиномов Лежандра.
Упражнения
1. С помощью формулы Родригеса показать, что полиномы Pn (х)
1
ортогональны, причем \ \tJnix)\*dx
а
j [Pn Wl2
-1 t
m< л j XmPn (x)dx = 0. -1
і
2. Показать, что ^ XnPn (х) dx =
2/1+1
Кроме того, при
2п+Ш п\ (2л+1)1
Вычисляя интеграл
Шлефли, убедиться, ЧТО Pn(I)=I-
3. Используя интегральное представление Лапласа, показать, что Pn (г) — Р-ъ-i (г)- Указание. Функция P-n-i (г) удовлетворяет уравнению Лежандра, поэтому она должна быть линейной комбинацией двух функций Pn (г) и Qn (г):
P_n_t (Z) = A1Pn (z) + a2Qn <*),
причем Pn (г) регулярна в точках Z= ±1, a Qn(Z) имеет особенность в точках Z = Ifcl. Показать, что а2 —0, ai = l.
п
у, I d \П
4. Доказать, что каждый член суммы 2j I TfjT) х
r=[n/2J-f I
(_1)гпі
* г\ (п—г)! х2П~2г обращается в нуль (г и л —целые).
5. Плоскую волну можно разложить в ряд по сферическим волнам
оо
(уравнение Рэлея): eiAr cosv^ an/n(^r)Pn (cos V). Показать, что
