Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
+ . (12.129)
На основании биномиальной теоремы
^Я'-КтГ+Кт)4--]=
«
оо
_ ы а2 V { іч(п-і)/2 (п/2)1 / а \п-1
~ 2 гз Zj * 1> [(л-1)/2]! (1/2)! V г )
Jl=I, неч
г>а. (12.130)
<(cos6)_ dP\( cos9)_ l n(n-j-l)0
т -~Sino d (cos 6) ~ 2 ~~2
и рекуррентную формулу (12>88) с т=1 Pn (cos Є) - ^ P1n (cos Є) + n (rt + 1) Pn (cos 0) = 0, получаем (для любых 0):
со
Br (Г, 0) = 2 (п+ 1J ЇШ рп (cos 0), г > а.
W= 1
В частности, при 0 = 0
OO
а
OO
П+І
Brfr, 0) = 2 Cnrt (п+1)-^ir.
lis прйсоеДйненньіп гіолйііомьі лежанДрА
491
Приравнивая почленно уравнения (12.126) и (12.130) (с г = z)*, получаем
л _/- 1ч(п-1)/2 ы
(л/2)!
^("+^(,-1)/21,(1 )|'
ИЛИ
Итак,
/г—нечетное
С2П+1 —( — 1)П 02П+2 *
(12.131)
(2л)!
OO
^Ф O) = (7)2 2 (7)2П p2n + і (cos Є), (12.133)
22П+2 л! (n-f 1)! '
a\2n nl
(12.132)
71=0
OO
«г
Br (Г, 9) =^5- 2 C2-M (2t+ 1) (2rt + 2) (^) " P2wl (cos9),
n=0
(12.134)
OO
oe(r, 9) = S c2-.+i(2n-hl)(f)2"Pk+i(cos0). (12.135)
n=0
Искомые поля могут быть описаны в замкнутой форме с помощью эллиптических интегралов. Третья возможность связана с прямым интегрированием формулы (12.109) после разложения множителя 1/г, считая его производящей функцией для полиномов Лежандра. Эти методы имеют то преимущество, что позволяют непосредственно вычислить коэффициент Cn.
Интересно сравнить поле магнитного диполя кругового тока с полем электрического диполя конечного размера (см. рис. 12.3). Для магнитного диполя только что проведенный анализ дает
Mr, 0)=-^-|-[Р'-т(7)2р'+---]' (12Л36)
?e^e)=-!f.?[p;-i(f)2p;+...j. (12.137)
* Ряд по нисходящим степеням также обладает свойством единственности. 402 . ' глава 12. функций лежандрА
В разд. 12.1 получено для поля электрического диполя
+ (12Л38)
в) = [pi + (т)" ^i+ - ¦ ¦ ] • <12Л39>
Эти поля с точностью до главных членов сходны по своей записи, что и послужило основанием назвать их полями диполя.
Упражнения
1. Доказать тождества для присоединенных полиномов Лежандра (L-M + D2 (Pf -!У- + (Pf 2 = (L-1-М- D2 (Pfr11)2-I-(Pt ,)2,
(L_MH-1)(L+M) (Pf-1)2 - (Pf 2 =
4L + M-1)(L-M + 2) PfIilP^t-Pt 1?!-
Они встречаются при изучении углового распределения электронов внутренней конверсии.
2. Присоединенный полином Лежандра Pjj1 (х) удовлетворяет самосопряженному дифференциальному уравнению
(1 -X2)P™"(x)~2xPf (X)H- [Я(/| + D-J-^r] C(A)=O.
Исходя из дифференциальных уравнений для Р™(х) и р?(х), і
показать, что. j PrHix) Рп (х)' t ^2 =0> k ^: т' „1
3. Доказать условие ортогональности
Jd-^1 с WPjWdx -1
4. Записать P^m ' = (cos 0) егМф в декартовых координатах для
L = O, 1, 2, — L< М< L. Ответ:
P0 (cos Є) еоіф= 1, Pfi (cos Є) e±i(P = sin 0 (cos ф ± і sin ф) = j (x±iy),
P1 (cos 0) e°^ = cos0 = -i, P2 (COS 0) e0i(P = J COS* Є - J = ~ (222 - д * -y*)t 12.G. СФЕРИЧЕСКИ!- ФУНКЦИИ
49.1
З
(cosO) е^іф = 3 cos 0 sin 0 (cos (р ± і sin ср) = — г (х ± iy), Р±2 (cos 0) e±2i(P = 3 sin* 0 (cos ф ± і sin 9)2 = AifA^li .
5. Доказать, что Р~т (*) = (-Om f^yf ^n (*)• где Р?(*) =
1 /о dn+m
~ ~2"nf ^— dxn+m ^n' ^tia3ame- Применить формулу
Лейбница к произведению (jt-j~ l)n (*— l)n.
6. Показать, что
ff"? <<С , 2n(n+i)(n+m)l
J ("гіГ"sin'B Jsin9d9= (2n + i)(,-m)|
U
? / PI dP» , /?, rfPl 4 J \ sin 8 d0 sin0 a0 /
Эти интегралы встречаются в теории рассеяния электромагнитных волн сферой.
(_l)("-D/2rt!
7. Показать, что P' (0) =------—.wo _ , если п— нечет-
n W {[{п—1)/2)1 }
пое, и равно нулю, если п — четное; использовать сначала рекуррентные соотношения или разложение производящей функции.
8. Дифференцируя производящую функцию полиномов Лежандра, получить формулу (12.86), с помощью которой была определена производящая функция.
9. Вывести рекуррентное соотношение для присоединенных полиномов Лежандра
+1 {х)"п 2Zm рn M H« (« + I)-Щ (т— 1)1 РГ1 W-0.
(1 X )
(12.140)
10. Показать, что sin вР'п (cos 0) -— Pjl (cos 0).
12.6. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Ортогональность. При разделении переменных в уравнениях Лапласа, Гельмгольца или пространственной части классического волнового уравнения и волнового уравнения Шредингера для центральных сил угловая зависимость, которая целиком обусловлена оператором Лапласа, описы- 494 ' ГЛАВА 12. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
вается уравнением Ф(ф) d fdnfl d0Ue(0)
Жё~ 'Ж Isin0 ЖJ • <л+0 ф W=0-
(12.141)
Разделяя переменные в уравнении (12.141), получаем, что 9(0) удовлетворяет присоединенному уравнению Лежандра
(12.83) {поэтому в (0) = Pn (cos 0)1, а Ф (ф) - уравнению
фЖТ = - * <12Л42>
решения которого имеют вид
ф(ф) = е<я"Р (12.143)
и, как легко видеть, удовлетворяют условию ортогональности
2я
J е-ітіФеі»Wdtp = 2nbmumv (12.144)
о
причем, если положить Фт равным еітф/2зх, то решения будут ортонормированы. Отметим, что этот интеграл записывают также в виде произведения Ф^ (ф) ФШ2 (ф), где звездочкой отмечена операция комплексного сопряжения. Решение вида (12.143) часто используется в квантовой механике. В качестве решений можно также взять функции
