Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
п—О
яп = *п(2л + 1). Указание. Для определения anjn (kr) использовать ортогональность Pn; продифференцировать л раз по kr и для исключения зависимости по г положить г = 0; вычислить оставшийся интеграл, используя для этой цели результат упр. 2.
1
6. Показать, что jn(kr)^-~. j eifer"Pn (ц)^.
-і
31-1257482
ГЛАВА 12. ФУНКЦИЙ ЛЕЖАНДРА
12.5. ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА
Дифференциальное уравнение. Присоединенные полиномы Лежандра тесно связаны с обычными полиномами Лежандра и сводятся к последним, когда m — 0. Для перехода к присоединенным полиномам Лежандра и дифференциальному уравнению для них возьмем обычное уравнение Лежандра
(I-X2)Pnn-2xP'n+n(ti+\) Pn = O (12.76)
и, используя формулу Лейбница, продифференцируем его т раз*, в результате чего имеем
(1 -X2) и" - 2х (т 4-1) и' + (п—tri) (п + т + 1) и = 0, (12.77) где
«-Ей P-W- (12.78)
Введем обозначение
v(x) = (\-x2)m'2u(x) = (\-x2)m/2^^ . (12.79)
Разрешим это уравнение относительно и и продифференцируем
= +rS)(1 -*Tm/2> (12-80) ^[^S+(12-81)
Подставив найденные производные в уравнение (12.77), получим дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет новая функция
(1 - X2) V" - 2хо' + [п(я+1)- v = Q. (12.82)
Это уравнение называется присоединенным уравнением Лежандра и при т = 0 совпадает с обычным уравнением Лежандра. Записанное в сферической Системе координат
* Формула Лейбница для n-й производной от произведения двух функций записывается как
п
^r Wl=2 a (I)^B(X).
s=012.5. ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА 483
присоединенное уравнение Лежандра имеет вид
(12.83)
Присоединенные полиномы Лежандра. Регулярные решения V присоединенного уравнения Лежандра называют
присоединенными полиномами Лежандра и обозначают PJT (*). Тогда
PZ(X) = U-XT'2-^Pn(X). (12.84)
Из вида выражения (12.84), следует ожидать, что т не может быть отрицательным, поскольку операция дифференцирования отрицательное число раз не определена. Однако если воспользоваться формулой Родригеса, то это ограничение на параметр т можно снять, так что т будет меняться в пределах — п^т^п.
Уравнение (12.83) часто возникает при разделении переменных в уравнении Лапласа или Гельмгольца в сферической системе координат, если есть азимутальная зависимость.
По определению присоединенных полиномов Лежандра,
P0n(X) = Pn(X). (12.85)
Приведем значения некоторых из присоединенных полиномов Лежандра:
Pi (*) = (l-*2)1/2-sin0,
Pi2(X) = 3 (1 - Jt2)1/2 = 3 cos Є sin Є, P22 (x) = 3(1 -X2) = 3 sin20,
P13 (х) = ^(Ьх2-\)(\-х2)і/2 =
= -2-(5 cos20-l)sin0, Pl (х) = 15 (1 - je2) = 15 cos Є sin2 0, Pl (X) = 15(1 -JC2)372 = 15 sin3 Є, Pl (х) = І (7X2 — 3jc) (1 — X2)1/2 =
~ 4 (7 cos8 0 — 3 cos 0) sin 0,
' (12.86)
31*484 , ГЛАВА 12. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
Pl (X) = ^ (7х>- 1)(1 -X') г=
= у (7 cos2 0-1) sin20,
Pl (х) = 105* (1 - X2)3/2 = 105 cos 0 sin3 0, Pa (х) = 105(1 -*2)2 = 105 Sin4O.
(12.86)
Как и обычные полиномы Лежандра, присоединенные полиномы также имеют производящую функцию:
Однако она более сложна по форме и не имеет ясного физического истолкования, поэтому применяется сравнительно редко.
Рекуррентные соотношения. Как и следовало ожидать, присоединенные полиномы Лежандра удовлетворяют рекуррентным соотношениям. Поскольку эти полиномы имеют два индекса вместо одного, число рекуррентных соотношений для них велико, например:
(12.88)
(2 п + 1) = (п + т) РГ і + (п- т + 1) Р™+ і ; (12.89) (2я + 1) (1 - Jt2)1/2 Pi = PrZUi - PTі1 =
= (п + т) (n + m-\)Pn-t -(n-m+ 1)(/1-m-f 2)P^l;
(12.90)
(1 -x*)i/2Pt = jPn+i—^(n + m) (n-m-\- l)Pn-i-
(12.91)
Эти и другие рекуррентные соотношения можно проверить, используя производящую функцию (12.4), подставляя решения в виде ряда в присоединенное уравнение Лежандра (12.82) или сводя их с помощью зависимости (12.84) к рекуррентным соотношениям для обычных полиномов Лежандра. В качестве примера последнего способа12.5. ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА 485
рассмотрим формулу (12.90). Она аналогична рекуррентному соотношению для обычных полиномов Лежандра (12.23). Продифференцируем соотношение (12.23) tn раз, после чего получим
(2 п +1) g Pn (X) = gL p;tl W , (X) = dm+i dm+1
W- (12.92)
Умножая на (1 — ^(m+D/2 и используя определение
Pn (х), получаем рекуррентное соотношение (12.90).
Четность. Закон четности присоединенных полиномов Лежандра можно установить, изучая уравнение (12.84), которое определяет эти полиномы. Известно, что замена для обычных полиномов Лежандра Pn (х) приводит к появлению множителя (— 1)п. После т-кратного дифференцирования возникает аналогичный множитель ( —-1)т. Следовательно,
p;n (- je) = (- 1 )n+m Р? (je). (12.93)
Явный вид полиномов (12.86) подтверждает свойство (12.93). Из определения (12.84) следует, что
Pn (± 1)=0 для т>0. (12.94)
Ортогональность. Ортогональность полиномов P„ W вытекает из дифференциального уравнения, которому они удовлетворяют (как и в случае полиномов Pn (*)); член —m2/( 1 — X2) исчезает, если положить т одинаковым в обоих случаях. Весьма поучительно продемонстрировать ортогональность другим способом, с помощью которого можно получить и нормировочный множитель. Для этого обратимся к основному определению присоединенных полиномов Лежандра (12.84) и формуле Родригеса (12.65) для Pn (х). Тогда