Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арфкен Г. -> "Математические методы в физике" -> 122

Математические методы в физике - Арфкен Г.

Арфкен Г. Математические методы в физике — М.: Атомиздат, 1970. — 712 c.
Скачать (прямая ссылка): matematmetodivfizike1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 116 117 118 119 120 121 < 122 > 123 124 125 126 127 128 .. 185 >> Следующая


Упражнения

1. Показать, что электростатический потенциал заряда q, поме-

OO

щепного в точку Z = а, при г <а равен ф == 2 (тг) ^Mcos

п=о

2. Пусть E= — Тф. Определить компоненты электрического поля, соответствующего (чистому) дипольному потенциалу (12.12).

Ответ. (Предположить, что г > а.)

_ Aaq cos 0 _ 2ад sin G hr--' ~ 1 Г: u'

3. Найти электростатический потенциал линейного электрического квадруполя, изображенного иа рис. 12.4, а.

4. Построить простую одномерную систему зарядов, потенциал которой описывается выражением, начинающимся с октупольного члена.

Б. Точечный электрический диполь мощностью /?(1> расположен в точке Z=а, второй такой же диполь равной, но противоположной по знаку мощности расположен в начале координат. Сохраняя постоянным произведение перейти к пределу а~>0. Показать, что

такая система является электрическим квадруполем.

rn+i ^n / 1 \

6. Доказать, что Pn (cos 0) = (— l)n —j— • ^ I — J . Указание.

Сравнить разложение производящей функции в ряд но полипомам Лежандра с разложением в ряд Тейлора.

30* 468

Г Л A ? А 12. ФУНКЦИИ ЛЁЖАНДРА

7. Используя гипергеометрические функции, можно получить,

OO

что extJ0 (t Vi—*2) = 2 ^n ^ "ЯГ' ^РовеРить правильность этого

* п = 0

соотношения для степеней t, начиная с t2.

12.2. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ И СПЕЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА

Рекуррентные соотношения. Получим рекуррентные соотношения с помощью производящей функции. Для этого продифференцируем производящую функцию (12.4) по t:

дв (<, *)

OO

dt -(Izg^W-S^W^- (12.14)

Подставив сюда значение производящей функции из (12.4), получим

* • » Ol

(1-2*/-И2) 2 пРп (X) Г*1 + (/-X) 2 Pn(X) tn-0.(12.15)

п=0 п=0

Левая часть этого уравнения представлена рядом по степеням t. Поскольку этот степенной ряд при всех t равен нулю, приравняем нулю коэффициенты при любой степени t (см. разд. 5.7). Эту процедуру легко выполнить, раздробив суммирование по каждому отдельному члену и образовав затем новые суммы по различным индексам:

00 OO OO

2 тРт (X) г-1 - S cIrixPn (*) Г + S SP8 (X) ts+1 +

Wl-O п—О 8=0

со оо

+ 2 P9(X)P+1-2 xPn(x)tn = 0. (12.16) «=0 11=0

Положим теперь m = л +1 и s = л — 1, тогда

(2л +1) хРп (X) = (л + 1) Рщі (*) H- пРп_{ (x)t л = 1, 2, 3, ...

(12,17)

Данное рекуррентное соотношение подобно (но не идентично) рекуррентному соотношению для функций Бесселя. С его помощью можно получить полиномы Лежандра высших порядков. Если положить п — 1 и подставить значения полиномов P0 (дг) и P1 (х) (см. упр. 7 к разд. 12.1) іі.й. Рекуррентные соотношения

469

в формулу (12.17), то легко определить явный вид P2 (*):

P2(X) = (З*2 — 1)/2. (12.18)

Этот процесс можно продолжить. Приведем явные выражения для нескольких первых полиномов Лежандра:

P0 (*) = !, P1 (*) - *2, P3 (X) = I (5*3 - 3*),

P4 (х) =1(35*4-ЗО*2+ 3),

P5 (*) = ~ (63*5 - 70*3 + 15*).

(12.19)

Дифференциальные уравнения. Дальнейшие свойства полиномов Лежандра можно установить, дифференцируя производящую функцию (12.4) по *:

OO

а*тИ =5---575 = S Pn (X) Іп (12.20)

или

щ

СО СО

(1-2xt + i2) S P'n(x)tn-t 2 PnWZn-O. (12.21)

n—О n=0

Как и прежде, коэффициенты при каждой степени t нужно приравнять нулю, откуда

Pn+1 (X) +P;-i (X) - 2*Pn (*) + P71 (*). (12.22)

Более удобное соотношение получается после дифференцирования уравнения (12.17) по * и умножения его на два. К полученному результату затем прибавим уравнение (12.22), предварительно умножив его на (2п + 1), после чего член с Pn исключается. В результате имеем

P;+i (*) -P;_i (*) = (2*+1) Pn (*). (12.23)

С помощью уравнений (12.17) и (12.23) можно получить несколько дополнительных соотношений:

Pni-I (X) = (П + 1) Pn (X) 4- *р; (X)1 (12.24)

Pn- I(X)= ~пРп(х) + хРп(х), (12.25)

(1 - *2) Pn (*) - пРп-i (X) - пхРп (X)i (12.26)

(1 ~х2) Pn (X) = (п + \)хРп (X) -(/1+1) Рп+, (*). (12.27) 470

Г Л Л R Л 12. ФУНКЦИИ ЛПЖЛНДРЛ

Продифференцировав соотношение (12.26), исключим с помощью (12.25) член, содержащий і (*), в результате получим, что Ph (а-) удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению Лежандра

(I-JC2)P; (х)-2хРп (Jt) + л (л+1) Pn(X) = O. (12.28)

Итак, полиномы Pn (х), возникшие при разложении в ряд функции (1— 2 xi /2)~1/2, удовлетворяют уравнению Лежандра, поэтому они и названы полиномами Лежандра. В уравнении (12.28) дифференцирование производится по переменной X = cos 0. Часто уравнение Лежандра записывают в такой форме:

_1_ ^ (sin 9 dP"jcflos9) ) + п (п + 1) Pn (cos 9) = 0. (12.29)

С помощью производящей функции можно получить дополнительную информацию о полиномах Лежандра. Положим X ~ 1, тогда уравнение (12.4) приведется к виду

оо

--!-Г75 = 7-4-= S (12.30)

(1-2 H-^2)1/2

тогда, поскольку

OO

-!-T7^1—- Y Pn(I)Znl (12.31)

из сравнения двух рядов следует, что P71(I)--I. Аналогично можно показать, что

Pn (-1):=(-1)*, (12.32)

если положить х-— 1. Если же взять jc==O, то с помощью разложения

+j/*- ... +(-1)" ^2n+ ... (12.33)
Предыдущая << 1 .. 116 117 118 119 120 121 < 122 > 123 124 125 126 127 128 .. 185 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed