Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Упражнения
1. Показать, что электростатический потенциал заряда q, поме-
OO
щепного в точку Z = а, при г <а равен ф == 2 (тг) ^Mcos
п=о
2. Пусть E= — Тф. Определить компоненты электрического поля, соответствующего (чистому) дипольному потенциалу (12.12).
Ответ. (Предположить, что г > а.)
_ Aaq cos 0 _ 2ад sin G hr--' ~ 1 Г: u'
3. Найти электростатический потенциал линейного электрического квадруполя, изображенного иа рис. 12.4, а.
4. Построить простую одномерную систему зарядов, потенциал которой описывается выражением, начинающимся с октупольного члена.
Б. Точечный электрический диполь мощностью /?(1> расположен в точке Z=а, второй такой же диполь равной, но противоположной по знаку мощности расположен в начале координат. Сохраняя постоянным произведение перейти к пределу а~>0. Показать, что
такая система является электрическим квадруполем.
rn+i ^n / 1 \
6. Доказать, что Pn (cos 0) = (— l)n —j— • ^ I — J . Указание.
Сравнить разложение производящей функции в ряд но полипомам Лежандра с разложением в ряд Тейлора.
30*468
Г Л A ? А 12. ФУНКЦИИ ЛЁЖАНДРА
7. Используя гипергеометрические функции, можно получить,
OO
что extJ0 (t Vi—*2) = 2 ^n ^ "ЯГ' ^РовеРить правильность этого
* п = 0
соотношения для степеней t, начиная с t2.
12.2. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ И СПЕЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
Рекуррентные соотношения. Получим рекуррентные соотношения с помощью производящей функции. Для этого продифференцируем производящую функцию (12.4) по t:
дв (<, *)
OO
dt -(Izg^W-S^W^- (12.14)
Подставив сюда значение производящей функции из (12.4), получим
* • » Ol
(1-2*/-И2) 2 пРп (X) Г*1 + (/-X) 2 Pn(X) tn-0.(12.15)
п=0 п=0
Левая часть этого уравнения представлена рядом по степеням t. Поскольку этот степенной ряд при всех t равен нулю, приравняем нулю коэффициенты при любой степени t (см. разд. 5.7). Эту процедуру легко выполнить, раздробив суммирование по каждому отдельному члену и образовав затем новые суммы по различным индексам:
00 OO OO
2 тРт (X) г-1 - S cIrixPn (*) Г + S SP8 (X) ts+1 +
Wl-O п—О 8=0
со оо
+ 2 P9(X)P+1-2 xPn(x)tn = 0. (12.16) «=0 11=0
Положим теперь m = л +1 и s = л — 1, тогда
(2л +1) хРп (X) = (л + 1) Рщі (*) H- пРп_{ (x)t л = 1, 2, 3, ...
(12,17)
Данное рекуррентное соотношение подобно (но не идентично) рекуррентному соотношению для функций Бесселя. С его помощью можно получить полиномы Лежандра высших порядков. Если положить п — 1 и подставить значения полиномов P0 (дг) и P1 (х) (см. упр. 7 к разд. 12.1)іі.й. Рекуррентные соотношения
469
в формулу (12.17), то легко определить явный вид P2 (*):
P2(X) = (З*2 — 1)/2. (12.18)
Этот процесс можно продолжить. Приведем явные выражения для нескольких первых полиномов Лежандра:
P0 (*) = !, P1 (*) - *2, P3 (X) = I (5*3 - 3*),
P4 (х) =1(35*4-ЗО*2+ 3),
P5 (*) = ~ (63*5 - 70*3 + 15*).
(12.19)
Дифференциальные уравнения. Дальнейшие свойства полиномов Лежандра можно установить, дифференцируя производящую функцию (12.4) по *:
OO
а*тИ =5---575 = S Pn (X) Іп (12.20)
или
щ
СО СО
(1-2xt + i2) S P'n(x)tn-t 2 PnWZn-O. (12.21)
n—О n=0
Как и прежде, коэффициенты при каждой степени t нужно приравнять нулю, откуда
Pn+1 (X) +P;-i (X) - 2*Pn (*) + P71 (*). (12.22)
Более удобное соотношение получается после дифференцирования уравнения (12.17) по * и умножения его на два. К полученному результату затем прибавим уравнение (12.22), предварительно умножив его на (2п + 1), после чего член с Pn исключается. В результате имеем
P;+i (*) -P;_i (*) = (2*+1) Pn (*). (12.23)
С помощью уравнений (12.17) и (12.23) можно получить несколько дополнительных соотношений:
Pni-I (X) = (П + 1) Pn (X) 4- *р; (X)1 (12.24)
Pn- I(X)= ~пРп(х) + хРп(х), (12.25)
(1 - *2) Pn (*) - пРп-i (X) - пхРп (X)i (12.26)
(1 ~х2) Pn (X) = (п + \)хРп (X) -(/1+1) Рп+, (*). (12.27)470
Г Л Л R Л 12. ФУНКЦИИ ЛПЖЛНДРЛ
Продифференцировав соотношение (12.26), исключим с помощью (12.25) член, содержащий і (*), в результате получим, что Ph (а-) удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению Лежандра
(I-JC2)P; (х)-2хРп (Jt) + л (л+1) Pn(X) = O. (12.28)
Итак, полиномы Pn (х), возникшие при разложении в ряд функции (1— 2 xi /2)~1/2, удовлетворяют уравнению Лежандра, поэтому они и названы полиномами Лежандра. В уравнении (12.28) дифференцирование производится по переменной X = cos 0. Часто уравнение Лежандра записывают в такой форме:
_1_ ^ (sin 9 dP"jcflos9) ) + п (п + 1) Pn (cos 9) = 0. (12.29)
С помощью производящей функции можно получить дополнительную информацию о полиномах Лежандра. Положим X ~ 1, тогда уравнение (12.4) приведется к виду
оо
--!-Г75 = 7-4-= S (12.30)
(1-2 H-^2)1/2
тогда, поскольку
OO
-!-T7^1—- Y Pn(I)Znl (12.31)
из сравнения двух рядов следует, что P71(I)--I. Аналогично можно показать, что
Pn (-1):=(-1)*, (12.32)
если положить х-— 1. Если же взять jc==O, то с помощью разложения
+j/*- ... +(-1)" ^2n+ ... (12.33)