Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
поддается прямой физической интерпретации. Рассмотрим электрический заряд q, расположенный на оси г в точке Z = а (рис. 12.1). Электростатический потенциал заряда q в точке А равен (в единицах МКСА). (12.1)
1 Я
Ф —:з---•
г 4яе0 T1
Выразим электростатический потенциал в сферических координатах г и 6 (ф отсутствует из-за симметрии задачи относительно оси z). Используя закон косинусов, получаем
Ф = ^ (г2 + а2 - 2аг cos Є)":1/2. (12.2)
Полиномы Лежандра. Пусть г > а, или, точнее, г2 > > I а2 — 2аг cos 6 |. Радикал, входящий в (12.2), можно разложить в ряд по степеням а!г.
со
* = i4 2 Moose) (12.3)
п=0
где Pn (cos G) — коэффициенты этого ряда при л-й степени. Функции P11 называются полиномами Лежандра
потенциал. Заряд q смещен относительно начала координат. 12.1. ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ
463
(рис. 12.2) и могут быть определены из соотношения
OO
g(t, X) = (1-2JC/+/")-172= 2 Pn(X) f\ |/|<1, (12.4)
n—О
P4(x) и P5(X).
сходится при |/|<1*. Разложение (12.4) определяет полиномы Лежандра Pn (х), поэтому совсем не обязательно, чтобы этот ряд сходился. Можно получить явное выражение для полиномов в том случае, когда ряд сходится. Однако
* Заметим, что ряд из (12.3) сходится при г > а, хотя само биномиальное разложение справедливо только при г > (а2 |-2аг) cos 0=-1. 464
ГЛАВА 12. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
всегда удобно иметь сведения о сходимости ряда с тем, чтобы использовать свойства сходимости степенных рядов (см. разд. 5.7).
Используя биномиальную теорему (см. разд. 5.6), разлагаем производящую функцию:
- (-D і
(1-2 xtPfu2 - у (2 xt-t%)\ (12.5)
—:П П\
п--=0
(4)
биномиальное разложение множителя (2xt — P)n приводит к двойному ряду
п
п\
(1-2,м-о-,/2 ^-'^щг-«.-
п=0 ft—О
OO п
v v (n-l/2)l(^l)fe(2x)n-%n+fe П9
- Zj Zj (— i/2>i (n-k)\k\ 1 4
n-О ft -О
Согласно тождеству (5.62в), можно изменить порядок суммирования:
оо [п/2]
(\-lxt-\-t) 2j Zj —(~\i2)\k\(n-2k)[-1 ' [{2"()
JI=O ft=о
Здесь переменная t не зависит от индекса k. Далее, приравнивая почленно два степенных ряда, имеем
[п/2]
'»м- S (-Ч'ій&іьг1=.
ft=0 [п/2]
— V (_ 1 \h (2n—2k)\ n_2ft /19 o\
- Zj V 2nk\(n~k)\(n-2k)\x '
ft=O
Рассмотрим теперь систему из двух зарядов (ее называют диполем), поместив один из них (—q) в точку z — —-а и q в точку Z = а (рис. 12.3). В этом случае потенциал в точке А равен
7^")' (12.9) 12.1. ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ
465
Вновь используя закон косинуса, получаем
-[l+2(f)cose+(?)2]-'/2}. (12.10)
Очевидно, второй член в квадратных скобках во всем подобен первому с той только разницей, что в нем сделана замена
Рис. 12.3. Электрический диполь.
а = — а. Тогда с учетом уравнения (12.4)
OO OO
Ч-іШ p"<cos0)(f)"-S P.(«»e)(-l)"(f)e] =
n—0 n—O
2 Ч
- J-r[Pl{cosQ) (у)+р^ЛтУ+¦¦¦]¦ <12Л» Первый член (он играет главную роль при г > а)
где 2aq — момент диполя (см. рис. 12.3), представляет собой потенциал обычного электрического диполя.
Линейные электрические мультиполи. Проведенный анализ можно продолжить, поместив дополнительные заряды на оси г так, чтобы наряду с P0 из разложения исчез член, содержащий P1. Например, два заряда q, помещенные в точках г — а и z ~ — а, и заряд —• 2q в точке ? — О
30-1257 4GG
'ГЛАВА 12. ФУНКЦИИ ЛЕЖЛИДРЛ
образуют систему, которую называют линейным электрическим квадруполем (рис. 12.4, а). Потенциал такого квадруполя описывается выражением, начинающимся с P2 (cos 0)- Два линейных квадруполя можно скомбинировать так, что из выражения для потенциала такой системы выпадает квадрупольный член, но сохранится окту-польный член P3. Возможны и другие конфигурации,
-ч
О
о +
+ о
і T
P0
+
6
Рис. 12.4. Линейный электрический квадру-поль (а), квадруполь (б) и октуполь (в).
например заряды противоположного знака, расположенные в вершинах квадрата (или параллелограмма), образуют квадруполь, а система зарядов разных знаков, помещенных в вершинах куба — октуполь (рис. 12.4,6 и в).
Полиномы Гегенбауэра. Производящая функция (12.4) является частным случаем более общей производящей функции
1/2 °°
(1-2^ + ^+1/2^^-1/2)12 7^Wn' (12ЛЗ)
71=0
«
коэффициенты Tn (Jt) часто называют полиномами Гегенбауэра. При т — О выражение (12.13) сводится к (12.4), т. е. Tn (х) = Pn (х). Случаи, соответствующие т — + 1/2, рассмотрены в гл. 13, ill. ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ
<10)7
Заканчивая обсуждение мультиполем, подчеркнем следующее. Во-первых, электрический (или магнитный) мультиполь имеет самостоятельное значение только тогда, когда в разложении потенциала отсутствуют члены более низкого порядка. Например, потенциал одного заряда q, помещенного в точку z = а, мы разложили в ряд по полиномам Лежандра. В этом разложении член, содержащий P1 (cos 0),— квадрупольный, однако он появился в разложении только вследствие выбора системы координат. В действительности же эта система — монопольная, характеризующаяся полиномом P0 (cos 0). Во-вторых, в реальных физических системах обычно имеют дело не с чистыми мультиполями. Например, потенциал диполя конечных размеров (см. рис. 12.3) содержит член с P3 (cos 0). Эти члены более высокого порядка можно исключить, стягивая диполь в точку; в этом случае, сохраняя произведение qa (а 0, q оо) постоянным, дипольный момент останется неизменным.
