Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Спектральная последовательность Е третьей четверти — это такая последовательность, у которой ?’р,д = 0, когда р> 0 или q > 0; эквивалентно все ненулевые члены этой последовательности лежат в первой четверти, если их записать с верхними индексами, а диаграмма есть просто (1.6) с перевернутыми стрелками (дифференциалы направлены от слоя к базе, увеличивая полную степень на единицу). Краевые гомоморфизмы на базе являются эпиморфизмами
?р, 0 рр, 0 рр, 0 _ рр, о
2 ?3 ^ * * ‘ ^ ?р+1 Еоо »
а на слое — мономорфизмами
р0> q_ р0, q _ р0, q _ __ рО, q
XI оо — Cg-j-2 ^ ?q + l ' ^ ^ С 2 *
Трансгрессия т : E]h g_i 0 — это аддитивное отношение (слоя
с базой), индуцированное dq и определенное формулой (4.1), в которой необходимо обратить все стрелки.
Пусть А есть DGZ-модуль, записанный с верхними индексами (Ап = А_п), с граничным гомоморфизмом б : Ап ->-Ап+1. Фильтрация F модуля А, записанная с верхними индексами Fp = F_p, проявляется в виде башни дифференциальных Z-градуированных подмодулей
... => Fp-lA zd FVA гэ FP+1A ^ ... (8.2)
часто называемой убывающей фильтрацией, хотя в действительности это та же самая фильтрация, но в иных обозначениях. Теорема
3.1 применима непосредственна (только меняются обозначения). Каждая такая фильтрация F порождает спектральную последовательность {Ег, dT}, в которой Ef — Н (FpA/Fp+1 А) и
Е?'q = (Z?'9 и Fp+1Ap+i)l(bZfZl+l' q+r~2 u Fp+1Ap+q),
где Z?’q = {a\a ? FMp+«, 6а ? Fv+r Л*>+«+1}, и dT индуцируется б. Если фильтрация F ограничена, то существуют естест-
440
Гл. XI. Спектральные последовательности
венные изоморфизмы Et= ^ FpHAIFpJrlHA, где FVH обозначает фильтрацию комплекса НА, индуцированную фильтрацией F. Эти изоморфизмы имеют место и в том случае, когда фильтрация сходится сверху (U FpA = А) и ограничена снизу (для каждого п существует такое s, что F*An = 0). Заметим, что ограниченность «снизу» проявляется как граница справа в убывающей фильтрации (8.2).
Фильтрация F канонически коограничена, если F°A = —А и Fn+1An = 0 (заметим, что это условие не совпадает с условием канонической ограниченности). Из этого условия следует, что комплекс А положителен по верхним индексам (Ап — 0 для п< 0). Соображения, подобные доказательству теоремы 4.4, устанавливают следующий факт:
Теорема 8.1. Канонически неограниченная фильтрация DGZ-модуля А порождает спектральную последовательность третьей четверти». Начальные краевые члены описываются в терминах подкомплексов F1A и L, где Lp = Zf'°, как ?“-n = На (AIF1 А) и
° = Нп (L), а краевые гомоморфизмы Нп (Л) -»-?о’п и ?2’°
—>• Нп (А) индуцированы тождественным отображением 1 д. Трансгрессия х : ?i’n-1-^??'0 при п>2 является аддитивным отношением, индуцированным 8, и является также связывающим отношением р — р {A; L, FXA)
р (A; L, FXA): Я*1-1 (АЦ*А) — Нп (L), п > 2.
В явном виде краевые члены при г > 2 задаются формулами
??’°s*F)C17aZ?Zi+1,r~2, С = Кег [б :А—>А], (8.3)
??’4 & {?'q u F1Aq)l(bAq~1 о F1Aq).
Аналогично точные пары и бикомплексы можно записать с верхними индексами. Во многих когомологических спектральных последовательностях имеется (чрезвычайно полезное) умножение, возникающее из и-умножения и когомологии.
УПРАЖНЕНИЯ
1. В условиях теоремы 7.1 получить спектральную последовательность третьей четверти ??’ Q s HP (П, Нч (X, С)) =#> Нп (Х/П, С).
v
2. Доказать теорему 8.1.
3. Если Erv q —спектральная последовательность векторных пространств над некоторым полем и если V — векторное пространство, то описать Нот (Егр< V) как спектральную последовательность с верхними индексами.
§ 9. Сужение, инфляция и связь
441
§ 9. Сужение, инфляция и связь
Наш следующий пример спектральной последовательности относится к когомологии группы П с данным нормальным делителем Г. Нам необходимы некоторые подготовительные понятия, связывающие когомологии групп П и Г.
Если Г — подгруппа группы П и А — левый П-модуль, то вложение х:Г-»»П определяет замену групп (х, 1А), которая индуцирует гомоморфизм
res?: Нп (П, Л) Нп (Г, А), (9.1)
называемый сужением', сужение естественно по аргументу А. Если Дс ГсП, то res д res г = res д. Пусть Аг обозначает, как обычно, подгруппу тех элементов а из Л, для которых ta = а для всякого t 6 Г. Если Г — нормальный делитель группы П, то Лг является левым (П/Г)-модул ем. Проекция о :П->П/Г и вложение / : Лг -+-А образуют замену группы (сг, /) : (П, Л) -»-(П/Г, Лг), которая индуцирует гомоморфизм
infg/r : Нп (П/Г, Лг) -> Нп (П, Л), (9.2)
называемый инфляцией; инфляция естественна по аргументу Л. Кроме того, существует аддитивное отношение
Рг/Г; Нп (Г, Л) — Нп+1 (П/Г, Лг), п > О, (9.3)
называемое связью, которое будет определено ниже.
Напомним, что Нп (П, Л) = Нп (Нотп (В (П), Л)), где В (П) = В (Z (П)) есть В-резольвента. Каждый элемент / ? Нотп (Вп (П), Л) можно записать как однородную коцепь, т. е. как функцию / (х0, . • ., хп) 6 Л от п + 1 аргумента xt 6 П, для которой f (хх0, . . ., ххп) — xf (х0, ¦ . ., хп) и которая нормализована условием / (хо, . . ., хп) = 0, если х% = для некоторого i. Кроме того,
