Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
§ 5. Точные пары
Альтернативное описание спектральных последовательностей можно дать при помощи понятия «точной пары» (Масси [1952]). Не являющееся необходимым в дальнейшем, оно проливает неко-
§ 5. Точные пары
427
торый свет на источник и природу спектральных последовательностей.
Точная пара © = {D, Е; i, j, k}—это пара модулей D, Е вместе с тремя гомоморфизмами i, j, k,
D —i-> D
E
которые образуют точный треугольник в том смысле, что ядро равняется образу в каждой вершине. Модули D и Е могут быть градуированными или Z-биградуированными; в последнем случае каждый из гомоморфизмов i, j, k имеет некоторую бистепень.
Точность пары (5 показывает, что квадрат произведения /&:?->-->-? равен нулю, и, следовательно, это произведение является дифференциалом в ?. Образуем модуль гомологий Я (?, jk) для этого дифференциала. Построим треугольник
iD ¦—-» iD •' \ /"
Я (?, jk)
где отображение V индуцировано t, а отображения /' и k' определяются формулами
/' (id) = jd j- jkE, k'(e + jkE) = ke, e??, jke 0.
Заметим, что из id = 0 следует d ? kE, так что jd 6 jkE, и поэтому отображение /' определено корректно. Аналогично из jke = 0 следует ke ? iD, поэтому отображение k! корректно определено. Назовем <5' производной парой пары (5; она является функтором от © по отношению к очевидному определению гомоморфизмов для точных пар. Диаграммным поиском доказывается
Теорема 5.1. Производная пара точной пары точна.
Существует целая последовательность производных пар. Итерируем i (г — 1) раз:
Г1;ОЛ/)Л-----------
428
Гл. XI. Спектральные последовательности
Здесь i1_r : DD и /г'1-г — аддитивные отношения, для которых Ind (/i1_r) = j (Кег Г-1), Im 0'i1_r) = *г_10 с: kr1 (i^D). Положим
Dr — ir~1D, Er = k~l (ir~1D)// (Кег Г"1). (5.3)
Тогда i, /t1_r и k индуцируют гомоморфизмы tr, /г, kT, указанные в треугольнике
Dr —Dr
ЕТ
называемом r-й производной парой пары ©.
Теорема 5.2. r-я производная пара ©г тонна, причем 61 = @2 .= 6' u ©r+1 — производная пара пары 6Г.
Доказательство. Для г = 1, ?* = ?. При г = 2, точность пары @ означает, что Ф = /_10, ker i = &?; следовательно, ?2 = k-1j-10/jkE = Я (?, jk), и, таким образом, @2 — производная пара ©. При г> 2, Dr+1 = iDr — irDr; нам нужно показать только, что Er+l — это модуль гомологий модуля ЕТ относительно дифференциала jrkr : Ет ->-Ет. Чтобы описать этот дифференциал, перепишем определение (5.3) для Ег в виде
?г = С/В, С = kr1 (гг"Ч>), В = / (Ker г1-'1).
Элемент из ?Г является смежным классом с + В, где kc — ir~ld для некоторого d и
jrkT(c + B) = jr(kc) = jd-\-B, kc = ir~1d. (5.4)
Нам достаточно доказать, что
Кег (jTkr) = kr1 (irD)/B, Im (jrkr) = j (Ker iT)/B.
Прежде всего из jTkT (с + В) = 0 следует jd = ja для некоторого элемента а ? D, обладающего свойством Г-1а = 0. В силу точности пары ©, d — а — id' для некоторого d', так что kc = ird' и с ? k-1 (irD). Обратно, если kc = ird', то jTkr (с + В) = 0; этим утверждение о ядре доказано. Точно так же Im (jTkr) состоит по (5.4) из элементов jd + В, для которых ird = ike = 0, и обратно, из ird — 0 следует ir-1d = kc для некоторого с; значит, утверждение об образе доказано. Поскольку ©r+1 — производная пара пары ©г, она точна по теореме 5.1.
§ 5. Точные пары
429
Следствие 5.3. Точная пара Z-биградуированных модулей D, Е с отображениями бистепеней
deg t = (1, — 1), deg / = (0,0), deg /г = (— 1, 0) (5.5)
определяет спектральную последовательность (ЕТ, dr) с дифференциалами dT = jrkr, г — 1,2,....
Доказательство. Если выполнены условия (5.5), то отображения пары 6Г имеют следующие бистепени:
deg/г = (1, — 1), deg/r = ( — r+ 1, г— 1), deg?r = (— 1, 0).
Отсюда следует, что deg (jrkr) = (—г, г—1), так что каждый модуль Ет+1 является модулем гомологий для Ет относительно дифференциала dT бистепени, удовлетворяющей определению спектральной последовательности.
Точную пару © с бистепенями (5.5) можно изобразить следующим
образом:
’ * Ер, g+i > Dp-1, g+l ^ Ep-i, g+i > Dp-2, g+l > ' '
• • • —i>Ep+l,g >Dp,q —>Ep,g Dp-l, g —>¦¦ ¦
_ I4
ft j _ ft _ i . . . ?p+2t g—1 -Op+l, q-i Ep+q—i —> i/p, q-1 ^ ’
f* I4
Каждая последовательность, состоящая из вертикального шага i, двух горизонтальных шагов / и k, нового вертикального шага i и т. д, является точной; в действительности нашу диаграмму можно рассматривать как переплетение этих различных точных последовательностей, которые имеют общий член D. Эта диаграмма делает наглядным описание члена г-й производной пары с индексами (р, q). Ер, q строится как подфактор модуля Ер, q с верхним членом, полученным взятием прообраза (относительно k) образа вертикального отображения Г-1, и с нижним членом, полученным взятием образа (относительно /) ядра соответствующего отображения /г-1 [см. (5.3)].
