Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Маклейн С. -> "Гомология " -> 183

Гомология - Маклейн С.

Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1988. — 535 c.
Скачать (прямая ссылка): gomologiya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 177 178 179 180 181 182 < 183 > 184 185 186 187 188 189 .. 227 >> Следующая

и d'aPfq = —d”ap-Uq+i для некоторого ap-itq+J,
q = [d Ьр+ j, q -j- 3 bPl q+i | d &p+l, q — 0].
Первое условие, наложенное на элемент ар„ из L, показывает, что ap,q есть д"-цикл, так что определен els арл ? Hp>q; второе условие утверждает, что этот гомологический класс лежит в ядре d' : HPtq -+-Hp-i,q. Член d''bp, g+1 из M может изменить ap,q на ^"-границу, не меняя тем самым cls'ap, q; член d'bp+it q может изменить cls'ap, q на д' (els" Ьр+i, q). Поэтому соответствие ар>д-+ -v els' (els" ар q) устанавливает требуемый изоморфизм Е% q ^ ~ HpH"q.
§ 7. Спектральная последовательность покрытия 435
Вторая фильтрация F" и спектральная последовательность Е" определяются аналогично. Сохраняя р как обозначение для степени фильтрации, запишем бикомплекс в виде К = {Kq,P}, так что о: Кд,р ->¦ Kq_i,p. Тогда фильтрация F" определяется формулой (F"pX)n ~ 2 Kn-h,h для /i<p и имеет ассоциированную спектральную последовательность Е" с Ер, q ^ H"vH'q ({Kq,p}). Если Kq, р = 0 при р < 0, то эта последовательность сходится к фильтрации F" комплекса Я (X). Если комплекс К положителен, то обе спектральные последовательности лежат в первой четверти и сходятся к различным фильтрациям F' и F" одного и того же градуированного модуля Н (X).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть X и Y — комплексы абелевых групп, причем каждая группа Хп свободна. Для первой спектральной последовательности бикомплекса К = X ® Y показать, что Ep,q ее, Нр (X ®Hq (^))- Используя формулу Кюннета и точное описание образующих для Тог из V.6, примененное так же, как и в предложении V.10.6, показать, что d2 = d3 = . . .= О и что в этом случае ?2 — ?°°.
2. Описать Ep,q как факторкомплекс комплекса LIM, подобно тому как это сделано во втором доказательстве теоремы 6.1.
§ 7. Спектральная последовательность покрытия
Если группа П действует справа собственным образом, как в IV.11, на линейно связном пространстве X, то X является «регулярным покрытием» факторпространства (= пространства траекторий) Х/П относительно канонической проекции
/: X—*Х/П.
Каждый элемент и из П переводит сингулярные симплексы в сингулярные симплексы, так что полный сингулярный комплекс S (X) и его гомология Н (S (X), С) являются правыми П-модулями.
Теорема 7.1. Если группа П действует собственным образом на линейно связном пространстве X и если С — произвольная абелева группа, то существует татя спектральная последовательность Е первой четверти, что
El,q^Hp(Sl, Hq(X, С))=$Н (Х/П, С). (7.1)
v
Как всегда, сходимость означает, что существуют фильтрация F градуированной группы Нп (Х/П, С) и изоморфизм между Ер, q и ассоциированной (би)градуированной группой GpHp+q (Х/П, С).
28*
436
Гл. XI. Спектральные последовательности
Для доказательства сначала напомним, как вычисляются различные гомологии. Сингулярная гомология Я (X, С) — это гомология комплекса С ® S (X). Для любого правого П-модуля А, подобного Я (X, С), гомология Нр (П, А) — это гомология комплекса А ® цВ (П), где В (П) есть В-резольвента для группы П; любая другая проективная резольвента тривиального П-модуля Z была бы также пригодна. Наконец, гомология пространства траекторий Х/П вычисляется из его сингулярного комплекса S (Х/П). Существует изоморфизм комплексов
Ф:5(Х)®П2^5(Х/П), (7.2)
определенный формулой ф (Т' ® 1) = fT' для каждого сингулярного симплекса Т' из X. Действительно, поскольку Z — тривиальный П-модуль, Т' и ® 1 = Т' ® 1 для каждого и 6 П, так что отображение ф корректно определено на тензорном произведении ®П. По лемме IV. 11.3 каждый сингулярный n-мерный симплекс Т из Х/П можно поднять до сингулярного n-мерного симплекса Т' из X, и эти Т', по одному для каждого Т, являются свободными П-модульными образующими комплекса S (X). Таким образом, Sn (X) <8>п 2 — свободная абелева группа с образующими Т' ®п 1. fT' = Т, и ф — изоморфизм. Бикомплекс
KP,q = (C®Sp(X))®nBq(Il)
имеет две фильтрации F' и F", и каждая из соответствующих спектральных последовательностей
Е'1 q = Я^Я" (К), Et q = H"pH’q (К),
сходится к ассоциированной градуированной группе комплекса Я (Tot К) для соответствующих фильтраций F* и F".
Для первой спектральной последовательности Яр, q (К) = = Hq(C ® Sp (X) ®п В (П)) есть гомология Hq (П, С ® SP (X)) группы П. При С = Z мы получаем в точности гомологию группы П с коэффициентами в свободном П-модуле Sp (X), который, как было вычислено, равен Sp (X) ®п Z при q = 0 и равен нулю при q>0. Поскольку Sp ®п В — комплекс абелевых групп без кручения, из теоремы об универсальных коэффициентах следует, что
и» iv\ I C®Sp(X)®xiZi Я~ о»
0, q> 0.
ВвиДу (7.2) комплекс, стоящий справа в верхнем равенстве, равен С ® S (Х/П). Следовательно,
Et q ^ Н'РН\ (К) ^ Яр (Х/П, С), <7 = 0,
: g = 0, q> 0.
Предыдущая << 1 .. 177 178 179 180 181 182 < 183 > 184 185 186 187 188 189 .. 227 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed