Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
§ 7. Спектральная последовательность покрытия 437
Значит, спектральная последовательность «выродилась»; она лежит на горизонтальной оси q = 0, имеет нулевые дифференциалы и поэтому равна своему пределу, причем
Нп (Tot К) & Нп (Х/П, С). (7.3)
Для второй спектральной последовательности мы запишем индексы в бикомплексе К как Kq, Р = С 0 Sq <g>n Вр, так что р будет по-прежнему обозначать степень фильтрации. Первая гомология H'q использует только дифференциал в Sq (X), поскольку каждый П-мо-дуль Вр свободен; отсюда следует, что
Нр, q (К) — Яр, q ({С ® Sq Вр}) = Hq (X, С) ®пВр (П).
Вторая гомология Яр явлется теперь гомологией группы П с коэффициентами в Hq(X, С), так что
б;2, q =* H"pH’q (К) & Яр (П, Hq (X, С)). (7.4)
Это дает спектральную последовательность, указанную в теореме. Как и всякая канонически ограниченная фильтрация, она сходится к гомологии Я (Tot К), описанной в (7.3) с помощью первой спектральной последовательности. Отсюда вытекает заключение (7.1).
Это доказательство дает типичный пример двух спектральных последовательностей, одна из которых вырождается, определяя предел второй последовательности.
Следствие 7.2. Если группа П действует собственным образом на линейно связном ацикличном пространстве X, то существует естественный изоморфизм Нр (Л, С)^ Нр (Х/П, С) для каждого р, где С — любая абелева группа, рассматриваемая как тривиальный П-модуль.
Доказательство. Поскольку пространство X ациклично, Hq (X, С) = 0 при q ф 0 и равно С при q = 0, так что (вторая) спектральная последовательность вырождается и поэтому Е2 изоморфно пределу, что и утверждалось.
Этот результат является гомологической параллелью теоремы IV. 11.5 для когомологии пространства Х/П. Как и ту теорему, это следствие можно было бы доказать непосредственно, без использования спектральных последовательностей. Однако спектральные последовательности позволяют нам обобщить теорему IV. 11.5 для применений к пространствам, не являющимся ацикличными. Например, имеет место
Следствие 7.3. Если Я0 (X) ^ Z для пространства X и Hq (X) = 0 для 0 < q < t и если группа П действует собственным образом на X, то
Нп(Х/П,С)^Нп(П,С), 0<л</.
438
Гл. XI. Спектральные последовательности
Для п — t существует точная последовательность Нш (Х/П, С) -»• Нш (П, С) —* Ht (X, С) ®П z Ht (Х/П, С)
—>Ht (П, С)—>0.
Доказательство. В силу теоремы об универсальных коэффициентах #0 (X, С) ^ С и Hq (X, С) = 0 для 0С q<t. Тогда в спектральной последовательности теоремы Е%, q — 0 для 0 <. q <. t и, значит, ?“о = Я?, о ^ Ht (П, С). Фильтрация в Ht (Х/П, С) равносильна точной последовательности
0 —> ?о° t —(Х/П, G) —> ?~0 ^ Я, (П, С) -> 0,
а описание ?“ г как гомологии комплекса < относительно диффе ренциала di+1 дает точную последовательность
Яж (Х/П, С) Д Eh и о ?о. t -> ?о. * 0.
Заменяя ?<+1,0 на Яг+1 (П, С), используя Х(5.2) для вычисления ?„, t as Н0 (П, Ht (X, С)) a* Ht (X, С) ®п Z и сплетая эти последовательности, мы получим требуемый результат. Эта точная последовательность является частным случаем «точной последовательности членов малой степени» (упражнение 3.3).
Этот результат определяет Я„ (Х/П) для n<t и Ht (Х/П) с точностью до некоторого группового расширения. Для полного определения Я< (Х/П) в терминах Я (П) и Я (X) требуется дополнительный инвариант — когомологический класс k в Ht+1 (П, Нп (X)), введенный Эйленбергом и Маклейном [1949, 1950].
Спектральная последовательность покрытия принадлежит Картану и Лерэ [1949] и Картану [1948]. Дальнейшее использование см. у Карта-на —Эйленберга [1956], стр. 356; Ху Сы-Цзяна [1959], стр. 287 (сноска); Хилтона — Уайли [1960], стр. 467.
УПРАЖНЕНИЕ
1. Показать, что использование первой спектральной последовательности в доказательстве теоремы можно заменить доказательством того, что 10e:C0S (X) ®п В (П) -> С ® S (X) Z есть гомологический изоморфизм, где е: В -+¦ Z — пополнение (использовать первую фильтрацию и теорему 3.4).
§ 8. Когомологические спектральные последовательности
Для когомологии привычно и удобно записывать спектральную последовательность с верхними индексами и с обычным изменением знаков: Е?’9 — Er-p,-q (знак.г не меняется) . Та же самая спект-
§ 8. Когомологические спектральные последовательности 439
ральная последовательность Е тогда появляется как семейство биградуированных модулей ЕТ, г = 2, 3, . , с дифференциалами
dT:E?'q-^Err'q~r+i (8.1)
бистепени (г, 1 — г) и изоморфизмами Н (Ет, dr) ^ Er+1-Сравнивая эти дифференциалы с' прежними дифференциалами dr:Erp+rt g_r+i ->-?р, q, мы видим, что формулы для спектральных последовательностей с верхними индексами получаются из формул для последовательностей с нижними индексами обращением всех стрелок и перемещением каждого индекса вверх (или, что может случиться, вниз) без изменения знака. Предел Е<х> определяется, как и раньше.
