Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
§ 10. Спектральная последовательность Линдона
449
Члены малой степени в этой спектральной последовательности порождают точную последовательность
О-*//1 (П/Г, Аг)^1 ЯХ(П , А) ТЛ Я1 (Г, А)ПЛ
inf (10.6)
Л Я2 (П/Г, Аг) -i Я2 (П, А). ¦ ¦
В высоких степенях спектральная последовательность производит более тонкий анализ ядер и образов отображений inf и res в терминах всей последовательности функторов E?’q (П, Г, А), которые можно рассматривать как «смешанные» группы когомологий двух групп П и Г.
В качестве приложения мы докажем
Следствие 10.3. Если Г — нормальный делитель конечной группы П индекса k = [П : Г], взаимно простого с порядком А — = [Г : 1 ], то для каждого Ti-модуля А и каждого п > 0 существует. расщепляющаяся точная последовательность
0 -> Нп (П/Г, АТ) Нп (П, А) ™ Нп (Г, А)и -> 0, (10.7)
которая устанавливает изоморфизм Нп (П, А) ^ Нп (П/Г, Аг) © © Нп (Г, А)п.
Доказательство. Из предложения IV.5.3 известно, что порядок каждого элемента из Я® (Г, А) при q > 0 делит А, а порядок каждого элемента из Яр (П/Г, М) при р>0 и при любом (П/Г)-модуле М делит k. Значит, группа Е%’9 = Нр (П/Г, Я9 (Г, Л)) при р > 0 и <7 > 0 состоит из таких элементов, порядок которых делит и h и k, и поэтому равна нулю. Ненулевые члены спектральной последовательности лежат, таким образом, на краях (р = 0 или (7 = 0), а единственный ненулевой дифференциал — это трансгрессия (от слоя к базе)
dn : Я”-1 (Г, Af = "-1 & 0 = Нп (П/Г, Лг).
Однако этот гомоморфизм отображает абелеву группу, порядки элементов которой делят h, в абелеву группу, порядки элементов которой делят k, причем (A, k) = 1; значит, дифференциал dn равен нулю. Таким образом, все дифференциалы спектральной последовательности равны нулю, Ег = ?«, и имеется только два члена (оба на краях каждой полной степени п). В этом случае фильтрация комплекса Нп (П, Л) эквивалентна точной последовательности, указанной в теореме. Эта последовательность расщепляется; действительно, стандартным рассуждением, использующим алгоритм евклида, доказывается, что любая точная последовательность В >-» С -» D абелевых групп, в которой kB = 0, AD = 0 и (A, k) = = 1, должна расщепляться.
29—353
450
Гл. XI. Спектральные последовательности
УПРАЖНЕНИЯ
Все упражнения относятся к спектральной последовательности Линдона.
1. Показать для фильтрации Нп (П, А), что FnHn можно охарактеризовать как образ инфляции, а ГгНп как ядро сужения.
2. Установить точность последовательности
0-> ЛЯ*/ЛЯ* —> ?1>°-*ЯЗ(П, А).
3. (Хохшильд — Серр [1953].) Предположим, что m > 1 и что
Нп (Г, А) = 0 при 0 С п С от. Показать, что inf: Нп (П/Г, Лг) as Нп (П, А)
есть изоморфизм при п < т, что трансгрессия т в размерности т — это гомоморфизм т : Я™ (Г, Л)п ->¦ Нт+1 (П/Г, Лг) и что следующая последовательность точна:
itif res т
О —> Нт (П/Г, Лг) —> Я™ (П, А) —> Я™ (Г, Л)п —>
т inf
—>Ят+1(П/Г, Лг) —» Ят+1(П, Л).
4. (Хохшильд — Серр [1953]; Хаттори [I960].) Предположим, что т > 1 и что Яп (Г, Л) = 0 при 1 < п < от. Установить точность следующей последовательности для 0 < я < от:
т> inf
• • • —» Нп (П/Г, Лг) Яп (П, Л) —> Нп~ 1 (П/Г, Я1 (Г, Л)) -»
Яп+1 (П/Г, Лг) -> Я"+1 (П, Л) -» • • • .
5. Для правого П-модуля С построить спектральную последовательность первой четверти, сходящуюся к гомологии П:
Нр (П/Г, Яд (Г, С)) s Е% о Я (П, С).
Р
§ 11. Теорема сравнения
При оперировании спектральными последовательностями полезно иметь возможность судить об изоморфизме двух спектральных последовательностей по ограниченным данным. Теорема сравнения, доказываемая в этом параграфе, представляет такую возможность для спектральной последовательности первой четверти Е модулей над коммутативным кольцом при условии, что существует короткая точная последовательность
О El, о 0 El, в Л El,, Л Тог4 (El-u „, ??,,) —> 0 (11.1)
для члена Е2. Это условие часто выполняется. Например, для спектральной последовательности Лерэ — Серра расслоенного пространства с односвязной базой формула (2.2) устанавливает изоморфизм El,q^Hp (В, Hq(F)), который по теореме об уни-
§ И. Теорема сравнения
451
версальных коэффициентах порождает точную последовательность
О -> Яр (В) ® Hq (F) -> El q -> Тог (Я,., (В), Я„ (F)) 0.
Поскольку и В, и F линейно связны,
?2р,о г* Яр (В, Z) = Яр (В) и ?J.e ^ Н0 (В, Hq (F)) & Hq (F), так что указанная последовательность сводится к (11.1).
Теорема 11.1. (Теорема сравнения.) Пусть f: Е -*-Е' есть гомоморфизм спектральных последовательностей первой четверти модулей над коммутативным кольцом, каждая из которых удовлетворяет условию (11.1), причем f коммутирует с отображениями я, а, и', а' из (11.1). Обозначим отображения fp,q: Erp,q -*ЕРЛ . Тогда любые два из следующих условий влекут третье (и, следовательно, устанавливается, что f изоморфизм)
