Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
454
Гл. XJ. Спектральные последовательности
последовательность Лнндона была использована Грином [1956] для доказательства того, что группа Н% (П, Z) для конечной р-группы П порядка рп имеет порядок ph, где k < п (п — 1)/2. Для конечной группы П Венков [1959] доказал топологическими методами, что кольцо когомологий И (П, Z) конечно порождено как кольцо; алгебраическое доказательство этого факта,, данное Ивенсом [1961}, опирается на структуру умножения в спектральной последовательности Линдона. Среди многих других применений спектральных последовательностей отметим доказательство Бореля [1955] теоремы Смита о неподвижной точке и приложения к функциональным пространствам, указанные Федерером [1956]. В доказательстве теоремы сравнения, принадлежащей Муру (семинар Картана [1954—1955]), мы следовали Кудо и Аракн [1956]; тесно связанное с этим доказательство Зеемана [1957] включает случай, когда исходные изоморфизмы предполагаются заданными только для определенных размерностей. Эйленберг — Мур [1962] изучали сходимость и двойственные свойства спектральных последовательностей в абелевой категории.
ГЛАВА XII
Производные функторы
В этой главе наши предыдущие исследования будут применены к более общей ситуации. Во-первых, мы уже отмечали, что модули можно заменить объектами абелевой категории; в первых трех параграфах исследуется эта техника и показывается, как идеи гомологической алгебры, не включающие тензорные произведения, могут быть распространены на любую абелеву категорию. Во-вторых, относительный и абсолютный функторы Ext можно рассматривать вместе как частные случаи общей теории «собственных» точных последовательностей, изложенной в § 4—7. Следующие параграфы описывают процесс построения «производных» функторов: Нотн приводит к функторам ExtS, ®н приводит к Тог?, а любой аддитивный функтор Т приводит к последовательности функторов —«сателлитов». Наконец, применение этих идей к категории комплексов дает обобщенную формулу Кюннета, в которой обычная точная последовательность заменяется спектральной последовательностью.
§ 1. Квадраты
Многие операции в абелевой категории основаны на построении «квадратов». Пусть аир — два морфизма с общим концом; рассмотрим коммутативные квадраты
D X В D" X В
р'| Р"| |э (1.1)
Л Q л л Ор л
А -> С А -> С,
построенные на данных сторонах аир. Назовем левый квадрат коуниверсальным для данных морфизмов аир, если для каждого правого квадрата существует такой единственный морфизм v : D" -*¦ ~>D, что Р" = p'v, а" = а'у. Коуниверсальный квадрат (называемый также диаграммой «оттягивания»), если он существует
456
Гл. XII. Производные функторы
определен с точностью до эквивалентности объекта D, так что а и р вместе определяют о' и Р' с точностью до правой эквивалентности. Габриэль [1962] называет D расслоенным произведением.
Подобные коуниверсальные квадраты известны во многих областях математики и существуют при более общих предположениях (чем те, которые сделаны относительно абелевой категории). В категории множеств, если аир — вложения, то D есть в точности пересечение подмножеств А и В множества С. В категории топологических пространств, если р — послойное отображение, а : А -*¦ -*¦ С — непрерывное отображение в базу отображения р, то Р' это так называемое «индуцированное» послойное отображение. В любой абелевой категории коуниверсальный квадрат с С = 0 — это квадрат
Теорема 1.1. (Построение квадрата.) Для данных морфизмов а и Р с общим концом в абелевой категории существует коуниверсальный квадрат (1.1). В терминах прямой суммы А 0 Вс проекциями jti и я2 объект D можно описать как область определения морфизма v ? ker (aatj — Ря2), причем а' — п2\, Р' = jtjv.
Доказательство. Для описанных в условиях теоремы объекта D и морфизмов v, а' и Р' рассмотрим диаграмму
В
Два треугольника этой диаграммы коммутативны по определению а' и Р'. Квадрат (лучше ромб) в вершине D коммутативен, так как
ap' = ajtjv = (anj — ря2 )v + pn2v = 0 + pa'.
Кроме того, для любого другого коммутативного квадрата, построенного на а и Р, с верхним углом/)', как в (1.1), коуниверсальность прямой суммы А © В дает морфизм g : D" -> А © В, для которого rtig = Р", я2? = а". Следовательно, 0 = аР" — Ра" =
= (ая! — Ря2) I, поэтому ? проходит через v ? ker (ая! — ря2) как | = \у для некоторого у (см. (1.2)). Теперь Р" = я^у = Р'у и а" = а'у. Если y0:D"-+D — второй морфизм со свойствами Р" = P'Yo, a' = a'Vo, то nj\y0 = njvy, j = 1, 2, так что v^o = = \у. Но v — мономорфизм, поэтому 7о = у и, значит, морфизм 7
(1*2)
§ 1. Квадраты
457
единствен, что и требовалось для доказательства коуниверсаль-ности.
Для модулей А, В, С угол D можно было описать как модуль всех пар (а, Ь), для которых аа = (36; наше доказательство показало, как вместо элементов а, Ь использовать разность ал4 — Рл2 и образование ядер.
