Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Маклейн С. -> "Гомология " -> 186

Гомология - Маклейн С.

Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1988. — 535 c.
Скачать (прямая ссылка): gomologiya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 180 181 182 183 184 185 < 186 > 187 188 189 190 191 192 .. 227 >> Следующая

п-И
б/ (Хд, Xn+i) = ( — l)n+1 2 ( — iyf (х0, . • . , Хи • • •, Xn+i).
i=0
Тогда сужение индуцируется цепным преобразованием 1|>, заданным формулой
Ш) (t0, ..., tn) = f (to, ¦ • •, tn), U € Г. (9.4)
Если g 6 Homn/r (B„ (П/Г), А), то инфляция индуцируется коцеп-ным преобразованием а*:
(a*g) (*о, • • •. хп) = g (ахо, ..., axn), xt ? П, axt g П/Г. (9.5)
442
Гл. XI. Спектральные последовательности
Эти преобразования ст* и iJj можно изобразить в диаграмме цепных преобразований комплексов
L К
11 , 11 Нотп (В (П/Г), А) А Нотп (В (П), А)
* <9-6) Нотг (В (П), А) Нот г (В (Г), А),
II II
S' S
которые обозначены как L, К, S', S. Заметим, что (П/Г)-, модуль В (П/Г) становится П-модулем при отступлении вдоль а, так что комплекс L слева канонически изоморфен комплексу Нотп/г (В (П/Г), Лг) с когомологией Я™ (П/Г, Аг) и а*—это В (о)*, где В (о) : В (П) ->-В (П/Г). Каждый П-модуль превращается в Г-модуль при отступлении вдоль вложения и : Г ->П, так что каждый П-модульный гомоморфизм является также Г-мо-дульным гомоморфизмом. Этот мономорфизм i: Нотп ->• Нотг Определяет вертикальное цепное преобразование i: К -> S' в диаграмме (9.6), в то время как и индуцирует преобразование В (и)*: S' —>¦ S. Ясно, что 1}з = В (х*) i.
Цепное преобразование В (и)* является когомологическим изоморфизмом
В {%)*: Нп (Нотг (В (П), A)) at Нп (Нотг (В (Г), А)) = Нп (Г, А).
(9.7)
Действительно, поскольку группа П есть объединение смежных классов Ту по подгруппе Г, свободный П-модуль Z (П) с одним образующим является прямой суммой свободных Г-модулей Z (Г) у. Следовательно, любой свободный П-модуль одновременно является свободным Г-модулем, так что е : В (П) -*-Z — это также и свободная Г-резольвента тривиального Г-модуля Z. Отображение В (и) : В (Г) -*-В (П) есть цепное преобразование, накрывающее lz, следовательно, по теореме сравнения оно определяет изоморфизм (9.7).
Теперь если Г — нормальный делитель группы Пи А — П-модуль, то каждая группа Нп (Г, А) является (ШГ)-модулем. Прежде всего для каждого модуля пВ, Нотг (В, А) есть (П/Г)-модуль в силу следующего определения (структура алгебры Хопфа!):
(xf) (b) = xf (х~Щ для f:B—>A, *?П, Ь?В. (9.8)
§ 9. Сужение, инфляция и связь
443
Действительно, так определенное отображение xf является Г-модульным гомоморфизмом, если таково f, так как для t б Г, (xf) (tb) = xf (х-ЧЬ) = х (х-Чх) / (х~Ч) = t [(xf) b] ввиду нормальности подгруппы Г. Тем самым Ношр становится П-модулем, но, поскольку tf = f для t б Г, этот модуль можно рассматривать как (П/Г)-модуль. Эта модульная структура естественна в В, поэтому Ношг (В (П), А) есть (П/Г)-модуль. В силу изоморфизма В (к)* из (9.7) Нп (Г, А) становится (П/Г)-модулем, что и утверждалось. Точная формула для этой (П/Г)-модульной структуры в терминах коциклов из В (Г) дана в приводимых ниже упражнениях 3—5.
Лемма 9.1. Для нормального делителя Г группы П образ сужения мжит в Нп (Г, Л)п.
Доказательство. По (9.6) сужение равно произведению = В (y)*i- Для каждого П-модульного гомоморфизма f : В (П)->--> А в силу (9.8) xf = f при любом х б П. Следовательно, если / — коцикл, то els / из Нп (Г, Л) инвариантен относительно каждого оператора из П.
Определения (9.5) и (9.4) показывают, что а* : L -> К из диаграммы (9.6) — мономорфизм и что if : К -> S — эпиморфизм, причем произведение ijjcx* равно нулю в размерностях, больших нуля. Значит, мы находимся в ситуации, в которой .дан комплекс К с двумя подкомплексами a*L и М = Кег iJj, причем (a*L)n с= М при п > О и S ^ К/M; в этой ситуации формула (4.4) определяет гомологическое связывающее отношение
р = р (К; o*L, Кег я|>): Нп (S) (L).
Возьмем его в качестве связи рп/г из (9.3). В явном виде р является аддитивным отношением, состоящим из всех пар когомологических классов
(clsg tyf i els Lg), f?Kn, g?Ln+1, bf — a*g.
Из последнего условия следует, что bg = 0 и 6г|э/ = 0.
Лемма 9.2. Модуль Def р для связи р лежит в Нп (Г, Л)п.
Доказательство. Возьмем пару (clss я|if, clsi, g) б P, как выше, и определим коцепь h б S,n следующим образом (xt б П):
h(x о, ...,xn) = f(x0, ..., jcn) + (—1)”^(1, ffx0, ...,ахп),
где второй член справа в действительности безоговорочно использует стягивающую гомотопию в В (П/Г). Поскольку значение g лежит в АТ, эта функция h есть на самом деле Г-модульный гомоморфизм h \ Вп (П) А. Вычисление с помощью граничной формулы для В (ГГ), использующее равенства bf = o*g и bg = 0, показывает, что bh — 0. Кроме того, В (к): В (Г) В (П) переводит h
444
Гл. XI. Спектральные последовательности
из S' в я|if из S, так что любой элемент clss я|>/ из Defp представляется как clss- h из На (S')- В комплексе S' мы можем подсчитать действие любого х ? П. Пусть kx— такая коцепь, что kx(x0, . . ., *n-i) = = g (ox, 1, 0*0, • • •. oxn_t). Кограничная формула и определение (9.8) показывают, что
Предыдущая << 1 .. 180 181 182 183 184 185 < 186 > 187 188 189 190 191 192 .. 227 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed