Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Маклейн С. -> "Гомология " -> 182

Гомология - Маклейн С.

Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1988. — 535 c.
Скачать (прямая ссылка): gomologiya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 176 177 178 179 180 181 < 182 > 183 184 185 186 187 188 .. 227 >> Следующая

3. Дифференциальное отношение d в модуле Е — это аддитивное отношение d : Е —*¦ Е, для которого Кег d ZD Im d. Определить H (Е, d).
4. Показать, что спектральная последовательность может быть описана как модуль Е вместе с такой последовательностью дифференциальных
отношений dr, г = 2, 3, . . ., что dr+10 = dTE, d7+iE = dr10. [Указание:
положить = H (E,dr).]
5. Показать, что спектральная последовательность точной пары © — это модуль Е вместе с дифференциальными отношениями dT = ji~r+1k, г = 2, 3, . . . .
6. Показать, что спектральная последовательность фильтрации F — это спектральная последовательность модуля Е° = Ер, где Е°р = Fp/ Fp^l и где дифференциалы — это аддитивные отношения dr : Fp/Fp-i -^Fp-r/Fp^r-i, индуцированные д (г = 0, 1, . . .).
§ 6. Бикомплексы
'Многие важные фильтрации возникли в связи с бикомплексами. Бикомплекс (или «двойной комплекс») К — это семейство {КР, д} модулей с двумя семействами
д' :KP,q-^ КР-и я, д": КР, q -> КР, (6.1)
таких модульных гомоморфизмов, определенных для всех целых чисел р и q, что
д'д' = 0, а'Э' + Э'Э' = 0, д"д" = 0. (6.2)
Таким образом, К — это Z-биградуированный модуль, а д' и д" — гомоморфизмы бистепеней (—1, 0) и (0, —1) соответственно. Бикомплекс положителен, если он лежит в первой четверти (КР, q = 0 при рс0 или q<0). Гомоморфизм f : К->¦ L бикомплексов — это гомоморфизм биградуированных модулей степени 0, перестановочный с дифференциалами fd' — d’f и fd" — d"f. Объекты KP,q, входящие в бикомплекс, могут быть ^-модулями, А-модулями,
§ 6. Бикомплексы
433
градуированными модулями или объектами некоторой абелевой категории. Вторая гомология Я" бикомплекса К образуется относительно д" обычным образом:
Hlq(K) = KeT(d'':KP,q-^KP,q-i)/d"KP,q+l; (6.3)
она является биградуированным объектом с дифференциалом д'\ Яр,q индуцированным исходным дифференциалом д'.
Далее, гомология этого объекта
Н'рН"а (К) = Кег (д': Н"р,q-+ H”p-itq)/d'H"p+i,q (6.4)
является биградуированным объектом. Первая гомология Я' (К) и итерированная гомология Н"Н'К определяются аналогично.
Каждый бикомплекс К определяет одинарный комплекс X = = Tot (К):
Х„= 2 KP,q, Q = d’ + d':Xn->Xn-i. (6.5)
p+q=n
Из условий (6.2) следует, что д2 — 0; если бикомплекс К положителен, то и комплекс X положителен, и в этом случае каждая прямая сумма в (6.5) конечна. Эта операция «тотализации» уже была использована раньше. Так, если X и Y — комплексы К-модулей с дифференциалами д' и д" соответственно, то X®Y, естественно, есть бикомплекс с двумя дифференциалами
д' {х®у) = (д'х) ® у, д" (х®у) = (— l)dee:cx ® д"у,
которые удовлетворяют (6.2); тензорное произведение комплексов в том виде, как оно определено в гл. V,— это Tot (X®Y). Аналогично Нот (X, Y) — бикомплекс.
Первая фильтрация F' комплекса X = Tot (К) определяется подкомплексами Fp:
(ВДП= 2 Кл,п-ь. (6-6)
h^p
Ассоциированная спектральная последовательность этой фильтрации называется первой спектральной последовательностью Е' бикомплекса.
Теорема 6.1. Для первой спектральной последовательности Е' бикомплекса К с ассоциированным полным комплексом X существуют естественные изоморфизмы
E'^q^H'pHl (К). (6.7)
Если KP,q = 0 при р < 0, то Е'2 =#¦ Я (X). Если К положителен, то Е лежит в первой четверти.
28-353
434
Гл. XI. Спектральные последовательности
Другими словами, эта спектральная последовательность показывает, как итерированная гомология Н'Н" аппроксимирует полную гомологию комплекса X.
. Доказательство. Пусть Е = Е' — первая спектральная последовательность. Как и в (3.2), Ерл = Hp+q (F’pX/F'p_iX). Однако определение (6.6) фильтрации F' показывает, что (FpX/F'p-iX)p+q & Kp,q. Следовательно, Ep,q = H"p,q (К). Кроме того, дифференциал а1: Е1 -+-Е1 индуцирован дифференциалом д = д' + д", отвечающим д' при изоморфизме Е1 ^ Н"К. Поэтому Е% = Я (Е1, d1) = Н'Н" К, как и утверждалось в (6.7).
Поскольку каждый модуль Хп является объединением всех F’pXn, первая фильтрация сходится сверху. Если KP,q = 0 при р < 0, то FLiX — 0, так что фильтрация ограничена снизу. Отсюда вытекает сходимость ?'2=#>Я (X). Для положительного комплекса к изоморфизмы (6.7) показывают, что Е лежит в первой четверти.
Полезно дать доказательство теоремы, исходя непосредственно из определения
Ер> q = (Zp. q^J Fр-\Хп)!(dZp+1, q^J Fp-iX„), tl — p -J- (j. Элемент a ? FpXn имеет вид
a ~ aP) 9 + aP-1* 9+1 "b aP-2, ««+¦••! ap, 9 6 ^P, 9*
da — d"ap, q -f- (d'aPt q+d’’ap-g+t) + (d'apq+l + d"ap-2, q+г) + • • • >
где мы сгруппировали члены одинаковой бистепени. Следовательно, а € Zl<q, если d"ap,q = 0, и а б Z%iq, если
dap,q==01 д aPt q-\~д ap~it q+i = 0.
Значит, EPfq = Lp,q/Mp,q, где
^Р» 9 ~ lflp, 9 I д Яр, q — О
Предыдущая << 1 .. 176 177 178 179 180 181 < 182 > 183 184 185 186 187 188 .. 227 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed