Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Для второй спектральной последовательности Е * индекс фильтрации по-прежнему обозначается как р, поэтому мы записываем члены К как К9,р = Homn/г (Вя, Нотг (Вр, Л)) со вторым показателем р. Как и для любого бикомплекса, E’tp’q = Я"р Я'9 (К). Но Я'9 (К) — это когомология группы П/Г с коэффициентами в Нотг (Вр, А). По лемме 9.3 она равна нулю при q > 0; при <7 = 0 она равна [Нотг (Вр, Л)]п/Г = Нотп (Вр, А), так как любая группа Я0 (П, М) — это группа Мп из П-инвариантных элементов П-модуля М. Вычисление когомологии Я"р комплекса Нотп (Вр, А) дает когомологию группы П, так что
ETq^Hp(JYyA), <7 = 0,
= 0, <7>0.
Все ненулевые члены лежат на базе <7 = 0, поэтому спектральная последовательность вырождается. Для каждой полной степени п имеется только один ненулевой фактор в фильтрации Я" (Tot К); отсюда вытекает изоморфизм
Нп(П,А)&Нп(ШК). (10.1)
Можно показать, что этот изоморфизм индуцируется цепным преобразованием
? : Нотп (В (П), А) —> Tot К,
§ 10. Спектральная последовательность Линдона
447
которое сопоставляет каждому отображению / : Вп (П) -*¦ А элемент ?/ в К0,п, определяемый формулой
(W((u)0b) = f(b), иеП/Г, Ь€5п(П).
Для первой спектральной последовательности ~
^ Я'р Я'? (К). Пусть S' обозначает комплекс Нотг (В (П), А), как в (9.6); когомология комплекса S'—это Я (Г, Л). Теперь Кр = НоШ(П/Г) (Вр (П./Г), S'), где Вр (П/Т) — свободный (П/^-модуль, является точным функтором аргумента S', поэтому
H"q (Кр) ш Ношп/г (ВР (П/Г), Я9 (S')) Ношп/г (В, (П/Г), Я3 (Г, Л)). Взятие Я'р дает когомологию группы П/Г, отсюда изоморфизм
0 : E'i’qe*Hp(WT, Я® (Г, А)). (10.2)
Эта спектральная последовательность сходится, как и для любого положительного бикомплекса, к Я (Tot К), т. е. в силу (10.1) к Нп (П, Л), что и требовалось доказать.
Предложение 10.2. В спектральной последовательности Линдона Е = Е' краевыми членами являются:
Ег’ 0 &*НР (П/Г, Аг), El’ qQszHq (Г, А)п/Г = Я® (Г, А)п (10.3) и E\'q s Я9 (Г, Л). Краевой гомоморфизм
Я“ (П, Л) ??•п ^ Я" (Г, Л)
«а слое является сужением resr- Краевой гомоморфизм Нп (П/Г, Лг) ^ El'0 -> Я™ (П, Л)
на базе является инфляцией infn>Т .Трансгрессия т есть связывающее отношение р из (9.3):
Т = Рп/г : Я"-1 (г» Л) —=- И™ (П/Г, Лг), n> 1. (10.4)
Изоморфизмы (10.3) являются специальными случаями изоморфизмов (10.2). Заметим, что образ краевого гомоморфизма на слое лежит в Е\'п — Нп (Г, Л)п, точно так же как для сужения (лемма 9.1), и что область определения трансгрессии т содержится в Нп~1 (Г, Л)п, точно так же как для связывающего отношения р (лемма 9.2).
Доказательство. Для спектральной последовательности Е первой фильтрации краевые эффекты вычисляются по теореме 8.1 с помощью подкомплексов F*K и L комплекса Tot К, где L? =
— Zi’°, с использованием вложения i : L ->Tot К и проекции
448
Гл. XI. Спектральные последовательности
я : Tot К ->Tot KIF1K- Эти отображения образуют первую строку следующей диаграммы, вторая строка которой представляет комплексы, использованные в § 9 для вычисления res, inf и р:
L Л Tot К A (Tot K)/F1K
1ф (Ю.5)
Ношп (В (П/Г), А) А Нотп (В (П), А) Л Нотг (В (Г), А).
Отображения Я, т], ф, связывающие эти две строки, будут определены в терминах однородных образующих (х0, . . ., хп) В-резольвенты В (П). Именно модуль Lp = Zi’° cz FPK состоит из всех элементов g ? Кр'°, для которых 6g ? Кр+1’°, т. е. b"g = 0. Поскольку Bi (П) есть свободная абелева группа с образующими (х, у) и дифференциалом д (х, у) = (у) — (х), то
0 = ± 8"g (Ьг 0 (х„ у)) = g(V 0 (у)) -g(V® (*)), V €Вр (П/Г).
Таким образом, элемент g (b’ <g) (х)) не зависит от х ? П, поэтому формулой (Xg) Ь’ = g (b’ ® (1)) определен цепной изоморфизм
i : L ^ Нотп (В (П/Г), А). Элемент степени п из Tot К является набором h = (h°, . . ., hn) из (п + 1) элементов hv ? /Ср.п-р. Он лежит в F1!^, если Н° = 0. Но В0 (П/Г) = Z (П/Г), так что
h0 ? Ношп/г (В0 (П/Г), Нотг (Вп (Г), А)) э* Нотг (Вп (Г), А).
Значит, формула (фК) (b”) = h° ((1) ® Ь") определяет цепной изоморфизм ф, стоящий справа в (10.5). Наконец, прямой подсчет показывает, что определение
П
(rift) (*0, ..., Хп) = 2 hv «<тлг0, ..., аХр) ® (хр, ..., хп)), р=0
где а : П -»-П/Г, h — (h°, . . ., hn), задает цепное преобразование т] : Tot К -> Ношп (В (П), А), которое делает диаграмму (10.5) коммутативной. Теперь для описанного после (10.1) отображения ? : Нотп (В (П), A) ->-Tot К будет т)? = 1; поскольку0? индуцирует когомологический изоморфизм (10.1), то и т] индуцирует подобный изоморфизм.
Таким образом, все вертикальные отображения в (10.5) являются когомологическими изоморфизмами. В спектральной последовательности краевые гомоморфизмы на базе и слое индуцируются (теорема 8.1) i и я соответственно; при описанных изоморфизмах они соответствуют инфляции, индуцированной а*, и сужению, индуцированному ij). Аналогично лемма 4.3 показывает, что трансгрессия, рассматриваемая как связывающее отношение для верхней строки, совпадает с теоретико-групповой трансгрессией, вычисленной (как в § 9) из нижней строки.
