Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Для любого биградуированного векторного пространства Ег определим характеристику как числа
% (ЕТ) = 2 (—1)р+9 dim Ер, ч. В силу (2.3) для векторных прост-p.?
ранств
Ер, q^Hv{B) ® Hq(F), dimEl,a = bp(B)bq(F)<co
и % (Ег) = % (В) % (F). Обозначим через Ср, q и ВТР, q группы циклов
и группы границ пространства Ер, q относительно dT. Короткие
точные последовательности
Гг ^ Fr -*Rr , . Rr ^ Гг Fr+1
q >-* *-*p> q t-'p—r» g+r—i» *-'p, q >-> ^p, q ^p, q
определяют Cr, Br и Er+1 = H (Er). В каждой последовательности размерность среднего члена есть сумма размерностей крайних членов, так что
dim ?ptg = dim Erp, q — dim Bp, q — dim Bp_r> q+r_ j.
Здесь последний член имеет полную степень р — г + q + г — 1 =
= (р + q) — 1, так что % (Er+1) = % (Ег); по индукции получаем %(ЕГ) = %(Е2). Поскольку пространства Erp,q тривиальны для больших р и q, ?°° = Ет для больших г и % (Е°°) = х (Е2). Теперь по (2.1) и (2.2)
dim Нп (Е) = 2 dim (Яр, qIHv_i, q+1) = 2 dim Ер, q,
p-\-q=n p-\-q=n
так что X (E) = x (Е°°) = % (E2) = % (В) x (F), что и утверждалось.
Теорема 2.2. (Последовательность Вана.) Если f : Е -+Sk — . расслоенное пространство с k-мерной сферой Sh (k>2) в качестве базы и линейно связным слоем F, то существует точная последовательность
-----> Нп(Е) -» Hn_h (F) -? Нп., (F) -> Hn-t (Е)
Доказательство. База Sh односвязна, и ее группы гомологий Hq (Sk) a* Z Hh (Sh) и Нр (Sk) = 0 для р ф О, k; следовательно, по (2.3)
E%,q~Hq (F), El,q^Hq{F), ?*,,= 0, рФ 0, k.
Ненулевые члены из Е%, q все лежат на вертикальных прямых р = О и р — k, так что у единственного дифференциала dr, г >2, отличного от нуля, г = k. Следовательно, Е2 = Е3 = • • • = Eh, Eh+1 —
§ 2. Расслоенные пространства
413
__ gk+2 _ ... = ?00. Описание ?fe+1 = В00 как гомологии бимодуля (В*, эквивалентно точности последовательности
О Е ? , -> El, q ?§, 9+й_! -» ?У, g+ft-t -> 0. (2.4)
С другой стороны, в башне (2.1) только два фактормодуля отличны от нуля, поэтому она сводится к последовательности 0 cz Н0,п = = tffc-i, n-k+i с: Hh,n-k = Я„. Вместе с изоморфизмами для В00 из (2.2) это равносильно короткой точной последовательности
0 _> Е~п -> Я„ (Е) -> ??„_* -> 0 (2.5)
со средним членом Яп (Е). Теперь положим в (2.4) q = п — k, выразим члены из Е2 через Я (F) и соединим последовательности
(2.4) и (2.5):
Н„[В) 0
I \ I
О (F) ->Яя_1 (F) 0
1 \ 1
О Яя_Л?).
В результате получается требуемая длинная точная последовательность. По теореме Лерэ — Серра гомоморфизм Hn_i (F) (Е)
индуцирован включением F Е.
Спектральные последовательности могут быть использованы для вычисления гомологии некоторых пространств петель, полезных в теории гомотопий. Пусть Ь0 — фиксированная точка линейно связного пространства В. Пространство L (В) путей в В имеет своими точками непрерывные отображения t: I -+¦ В с t (0) = b0; здесь I — единичный интервал, a L (В) снабжается «компактно открытой» топологией. Отображение р: L (В) -*¦ В, определяемое формулой р (t) = t (1), проектирует каждый путь в его конечную точку в В; можно показать, что р — послойное отображение. Слой Q (В) = р-1 (Ь0) состоит из замкнутых путей t [с t (0) = b0 = = t (1)]; он известен как пространство петель пространства В.
Следствие 2.3. Пространство петель QSft k-мерной сферы, k >2, имеет следующие группы гомологий:
Hn(QSk)^Z, п = 0 (vaoAk — 1),
Hn(QSk) — 0, пф0 (mod& — 1), п>0.
Доказательство. Поскольку k > 1, сфера Sh односвязна; поэтому каждая петля может быть стянута в нуль. Отсюда следует, что пространство Q (Sh) линейно связно, так что
414
Гл. XI. Спектральные последовательности
Н0 (QSh) = Z. Пространство Е = L (В) путей стягиваемо, в чем можно убедиться «сжатием» каждого пути вдоль самого себя к началу. Следовательно, пространство Е ациклично (упражнения
11.8.1). Значит, каждый третий член Нп (Е) в последовательности Вана равен нулю, кроме Н0 (Е), так что эта последовательность устанавливает изоморфизмы Hn-k (&Sfe) & i (Й5А). Вместе
с данным начальным значением Н0 = Z они устанавливают требуемый результат.
Поучительно изобразить диаграмму этой спектральной последовательности для k = 3 (см. диаграмму). Жирные точки обозначают в этой диаграмме члены ?р,? eg Z, а все остальные члены равны нулю. Единственный ненулевой дифференциал — это d3; эти дифференциалы, примененные к элементам, лежащим на прямой р — 3, «убивают» последовательные элементы в гомологии слоя. Эта диаграмма может быть построена непо-
I средственно без использования после-s3 довательности Вана. Мы зададим базу образующими 1 6 Ео,о и х 6 Е%,о; все элементы лежат на вертикальных прямых р — 0 и р = 3. Поскольку ?°° = 0, каждый элемент должен быть «убит» (т. е. стать границей или иметь ненулевую границу) некоторым дифференциалом. Но d3 — единственный ненулевой дифференциал. Следовательно, dsx = у ф О в ?о,2 на слое. Элемент х ® у в ?3,2 должен также иметь ненулевую границу сР (х ® у) = у' в ?§,4 на слое и т. д.
