Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Маклейн С. -> "Гомология " -> 178

Гомология - Маклейн С.

Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1988. — 535 c.
Скачать (прямая ссылка): gomologiya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 172 173 174 175 176 177 < 178 > 179 180 181 182 183 184 .. 227 >> Следующая

422
Г л. XI. Спектральные последовател ь ноет и
тральную последовательность, изоморфную последовательности теоремы 3.1. (Эти формулы часто используются в качестве определения.)
2. Если фильтрация F дифференциального градуированного модуля А канонически ограничена, то показать, что ее спектральная последовательность порождает точную последовательность
св d2 eF ев
Ht(A) -* El о -> ?Jlt -* Ht(A) -*¦
Если ?* q~® для 0 < q < f и всех р, то показать, что ев : Яр (Л) as 0 для О р < /, и установить точность последовательности
ej5 dn^ еВ
Я4+1(Л) -> ?*+1>0 ---------> El<t -> Я«(Л) -> El „ —>0.
3. (Точная последовательность «членов малой степени»; ср. с упражнением 2.2.) В условиях упражнения 2 предположим, что E^q = 0, когда или 0 < q < t, или 0 < р < s. Установить точность последовательности
еВ „ <г,+( . eF ев ,
о * ^o,s+<-i ^*+<-1 * ^s+f-1,0 >
где Яг — сокращение для Ht (А).
4. (Двурядная точная последовательность.) В условиях теоремы 3.3 предположим, что имеется два таких индекса 0 ¦< а С Ь, что д = 0 для q Ф а, 6 и всех р. Получить точную последовательность
¦¦¦-^Е1-ъ,ь-*Нп->Е1_а<а Е^_ь_ j i b > > ¦ ¦ ¦
с г Ь — а + 1. (Указание: сравнить с последовательностью Вана из теоремы 2.1.)
5. Получить «двустолбцовую» точную последовательность, аналогичную последовательности из упражнения 4.
6. Если А' и А’ будут FDG-векторными пространствами над полем и если фильтрация в А' ® А" определена формулой Fp (А' ® А") = ^ Fp> И')® ® Fp„ (А”), где р' + р" = р, то доказать для ассоциированных спектральных последовательностей, что Е (А' ® A") ss Е (А') ® ? (А").
7. Для спектральной последовательности фильтрации F модуля А показать, что модуль Erp q изоморфен образу гомоморфизма
Hp+q (FpA/Fp_rA) > Hp+q (Fp+r_1/l/Fp_1i4), t ^ 1,
индуцированного единицей. (Это описание можно использовать для определения спектральной последовательности фильтрации; см. Фаделл — Гуревич [1958], стр. 318.)
§ 4. Трансгрессия
В спектральной последовательности Е первой четверти последний возможный ненулевой дифференциал, определенный на членах Ер,о базы,—это дифференциал dP : Ер,о ->?о,р-ь который идет от базы к слою. Вместе с краевыми гомоморфизмами ев и eF это
§ 4. Трансгрессия
423
порождает диаграмму
0 Ео, р---:
1 | eF
El о ---> СО, Р-1
1 «в
?р,о 0
Ер, о -> El, о El р_, ->?~ p-i -> 0 (4.1)
с точными строкой и столбцами. Если (как мы и предполагаем здесь) спектральная последовательность начинается с г — 1, то аддитивное отношение
т = е'р-бРе'в • Е%, о —Е\, p-i, р = 2, 3, ...,
называется трансгрессией. Любое аддитивное отношение (предложение 11.6.1) является гомоморфизмом подмодуля своей области определения (называемой здесь модулем трансгрессивных элементов) в фактормодуль своей области значений; в нашем случае (4.1) представляет т как гомоморфизм dv подмодуля Е%,о модуля Егр, о в фактормодуль Ец, p_i модуля p_t. Замена Е1 на Е2 в определении т дает аддитивное отношение т': Е\, о -^EltP_lt также называемое трансгрессией. Каждая трансгрессия однозначно определяет другую через краевой гомоморфизм е : ??, р_i ->-?o,p_i, так как т = е_1т'; поскольку е — эпиморфизм, ее-1 = 1, так что т' =
- ет.
Предложение 4.1. Трансгрессия в спектральной последовательности Е канонически ограниченной фильтрации F модуля А является аддитивным отношением
т . Ер, о ^ ?1), р—1, индуцированным дифференциалом д: А -*-А.
Доказательство. В нашем случае Е — спектральная последовательность первой четверти. Ее краевые члены можно выписать в явном виде из формул (3.8). Поскольку дАр+1 cz Ар = FPAP, Ap+l = Zp+r-i, -г+2 для некоторого г>2, поэтому для членов базы формула (3.8) принимает вид
Ер, о = (2р, o'JFp-iA^lidAp+iKJFp-.iAp), г = 2,3........ (4.2)
Нижний член этого выражения не зависит от г; этим проверяется то, что краевые гомоморфизмы ев являются мономорфизмами. Точно так же Zjj5 q равняется F0Cq, когда г > 1 и С есть ядро д. Следовательно, на слое формула (3.8) принимает вид
Во. я = F0Cq/dZrrZl 9_г+2, г = 1, 2, ... . (4.3)
424
Гл. XI. Спектральные последовательности
Верхний член не зависит от г (краевые гомоморфизмы eF являются эпиморфизмами).
Трансгрессия — это произведение отношений, т = е~р <Ре~в, где е'в и е~р индуцированы 1А, а индуцирован д. Произведение т является поэтому аддитивным отношением, индуцированным дифференциалом д, в чем можно убедиться, вычислив т как множество всех пар смежных классов (а 4-/Эр, 0, да + DJ, P_i), где а в о й Dp, q —нижний член формулы для Epq, или применив принцип композиции для аддитивных отношений (предложение 11.6.3).
Краевые отображения (3.10) и трансгрессия могут быть подсчитаны прямо, исходя из комплекса А и двух подкомплексов, определенных с помощью фильтрации, без использования всей спектральной последовательности, но с использованием обобщения известных гомологических связывающих гомоморфизмов.
Предыдущая << 1 .. 172 173 174 175 176 177 < 178 > 179 180 181 182 183 184 .. 227 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed