Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Zl,q = [a)a?FpAp+q, да ? Fp_rAp+g_t]. (3.5)
С помощью этих обозначений спектральная последовательность фильтрации F модуля А определяется следующим образом:
Erp = (ZluF^AyidZ^i uF^A), г =1,2,...,
а дифференциал dT : Ер ->¦ ЕГР_Т есть гомоморфизм, индуцированный на указанных подфакторах дифференциалом д: А -»-Л. После этих определений доказательство становится непосредственным, но все же достаточно трудоемким. Проведем его в деталях.
Положим El = FpAIFp-iA, и пусть г)р: FPA ->?•“— каноническая проекция. Рассмотрим аддитивные отношения
Е° j. Е°
индуцированные на указанных подфакторах дифференциалом д:А -*-А. Так, дг состоит из пар (т]ра, г\р-гда) с а 6 Zp (в действительности это и есть причина, побудившая ввести подмодули Zrp). Кроме того, элемент т)ра лежит в ядре дг, если да 6 Fp-T-iA; поэтому (De! означает «область определения»)
Defd2 = r]pZp, Кег d2 = %,Zp+1.
Далее, di состоит из пар (т\Р+ГЬ, цРдЪ) с b ? Zp+r„причем 6=0, если b 6 Fp+r^iA, т. е. если 6 6 Z?+r_i. Следовательно («Ind» означает «неопределенность»),
Im dt = rjp (dZrp+r), Inddi^rjp (dZrp+Lt).
Принимая во внимание включения dZp+i-i cz dZp+r a Zp+i cz Zp> мы можем ввести для каждого р и каждого г подфактор модуля ?°:
?i = (^)/4P(3Z^i_i), г = 0,1,2,..., (3.6)
приведенные выше формулы показывают, что д индуцирует гомоморфизмы
ûà * сг ? гг
¦Cp-fr —^ ' * -Ср—г*
Образ dj равен
Im d\ = т)р (dZp+r)/r)p (dZ^+Li),-
27-353
418
Гл. XI. Спектральные последовательности
а ядро dr2 равно
Ker d' = rip (Zrp+i)/r\p (dZ&r-1).
Следовательно (опуская индексы 1 и 2), drdT — О, и
Нр (?', dr) ^ т,р (Z?+1)/%> (dZrp+r) = ?;+'.
Таким образом, мы имеем спектральную последовательность. Когда г = 0, Zp = Fp/L, a d°: Е°р -+¦ Еар это в точности дифференциал фактор комплекса = FpA!Fp-iA. Этим доказано (3.2).
Эта спектральная последовательность может быть также получена из башен
dZ^CdZlCdZ^C-CZlcZ^Zl^F.A
1 II I 1 1 J>
В» <В*< В* c-<cjccjccj=?j.
Башня из первой строки, взятая по модулю дает башню из
второй строки: Вр = ripdZ?+r_i и Ср = r\pZp. По II.6 аддитивное отношение д2: РрА/Рр-±А -^~Fp-rA/Fp-.r-iA равносильно изоморфизму
Def d2/Ker д2 = Im <5г/ Ind <Э2.
Однако этот изоморфизм — это в точности изоморфизм Ср/Ср+1 е* ~ BrpLlr/Bp-r- Тем самым dT определяется как произведение
Ер = Ср/Вр A Crp/Crp+i ^Brp±lr/Brp_T A Crp-r/Brp-r = Erp-r,
где я — проекция, t — вложение. Этим порождается спектральная последовательность способом, описанным в упражнении 1.1 (за исключением того, что Сг здесь обозначается как Cr+1).
Для описания FpH/Fp_iH введем обозначения С = Кег д и В — = дА соответственно для модулей циклов и границ модуля А. Тогда F индуцирует в С и В фильтрации FPC = С п FPA, FPB = =В о FPA. По определению Fp (HA)~(FPC \J В)/В. Следовательно,
Fp (HA)/Fp-i (НА) & (FpCkjB)/(Fp-1CkjB)^FpCI(Fp-1CvFpB)
в силу модулярного изоморфизма Нётер. Другой изоморфизм подобного типа
Fp (HA)/Fp~i (НА) s (FpCKjFp.iA)/(FpBuFp^A) (3.7)
представляет FpH/Fp_iH как подфактор модуля FpA/Fp_iA.
В определении (3.6) модуля Ер верхний член равен (Zp kj Fp_iA)IFp_iA а FpA/Fp^A, а нижний член равен
§ 3. Фильтрованные модули
419
(dZp+!-i u Fp_iA)fFp_iA; поэтому
Ер — (Zp\J FP-iA)l(dZp+r—i ^ Fp_\A),
Ep,q—{Zp,q(jFp—\Ap-irq)l(dZpJrr—i,q—r-!r2^Fp—1 ^4p_|_q). (3.8)
Теперь предположим, что фильтрация F ограничена, и рассмотрим фиксированную бистепень (р, q), соответствующую полной степени п = р + q. Для элемента а ? Zp, 9 из верхнего члена выражения для Ер, q, при большом г, да ? /,р_гЛр+д_1 = 0, следовательно, а ? FpCp+q. С этого момента верхние члены становятся равными FpCp+q и Fp.Hp+g. Что же касается нижнего члена, то, при большом г, каждый элемент из FpBp+q является границей элемента из Fp+r-iA, т. е. элементов из Zp+r-i- С этого момента нижние члены равны FpBp+q и Fp_iAp+q. Но Е°° определяется как фактор-модуль пересечения верхних членов по объединению нижних, поэтому
Ер, q = (FpCp+qKjFp—iAp-^-q)/(FpBp^.qijFp—iAp+q), (3.9)
что в точности совпадает с FpH/Fp_iH, как показывает изоморфизм (3.7). Тем самым (3.3) доказано. В литературе Е°° обычно определяется через Я (Л) формулой (3.9), так что изоморфизм «сходимости» (3.3) утверждает, что это определение согласуется с нашим.
Сходимость (3.3) имеет место при более слабых условиях, чем ограниченность (для полного изучения см. работу Эйленберга и Мура [1962]). Например, назовем фильтрацию F DGZ-модуля А сходящейся сверху, если А есть объединение всех подмодулей FpAr и ограниченной снизу, если для каждой степени п существует такое целое число s = s (п), что FsAn — 0.
Предложение 3.2. Если фильтрация F ограничена снизу и сходится сверху, то имеет место изоморфизм (3.3), и спектральная последовательность фильтрации F ограничена снизу.
