Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
1
B(U®V)^LB(U)®B{V). (12.1)
g
Выберем для / и g канонические сравнения (теорема 10.3):
fB (t/ <g> У) с К KJt(B(U)®B (1/)),
g [В (U) ® В (У)] с= s-iK и sB(U® У).
Опять-таки в силу теоремы сравнения существует гомотопия 1 ~ gf. С другой стороны, по (10.10), s_iK u sB (U ® У) = В (U ® V), так что
fg [В (и) ® ~В (У)] cz f_,K vt(B(U)®B (У)).
Это включение показывает, что fg есть каноническое сравнение комплекса В (U)®B (У) с самим собой, поэтому fg = 1. Поскольку fug, являясь каноническими сравнениями, определены однозначно, они естественны относительно U и У.
DGA-алгебра U коммутативна, если для ир (Е Up и uq ? Uq upuq = (—1 )p?«g«p, т. e. если ят = я : U® U -*¦ U, причем т : U® У->У ® U—обычная перестановка, я — отображение умножения для U. В этом случае тензорное произведение U ®t/ также является DGA-алгеброй; диаграмма показывает, что когда U коммутативна, отображение умножения я : U ® U -> U есть гомоморфизм DGA-алгебр. Следовательно, «внешнее» умножение g из (12.1) в этом случае определяет внутреннее умножение в В (U):
пв: В (U) ® В (10 Л В (I/ ® t/) -Л В (U). (12.2)
398
Гл. X. Когомология алгебраических систем
Здесь В ((/) рассматривается как (/0 (/-модуль, полученный отступлением вдоль я : (/ 0 U -у U, а В (я) — каноническое отображение, описанное в (10.11). Следовательно, умножение я в из
(12.2) можно описать как каноническое сравнение.
Теорема 12.1. Если U — коммутативная DGA-алгебра, то B(U) — коммутативная DGA-алгебра с единицей [ ] и умножением Пв, при этом яв является также гомоморфизмом пополненных модулей над U 0 U. Это умножение индуцирует такое умножение В [((/) 0 В (U) -*¦ В ((/), что В (U) становится коммутативной DGA-алгеброй, а проекция В (U)-*-B ((/) —гомоморфизмом DGA-алгебр, в то время как включение В ((/) В ((/) становится гомомор-
физмом градуированных К-алгебр.
Доказательство. Единичный элемент алгебры U представляется отображением I : К -+U. Учитывая, что В (К) =К, построим произведение отображений (/-модулей
В([/) = В(К)0В((/)^В((/)0В([/) -I B(U).
Здесь ® снабжается (/-модульной структурой отступлением вдоль /01 : К 0 (/ -> (/ 0 (/, а В ((/) — такой же структурой отступлением вдоль Яц (/ 0 1) = 1. Следовательно, указанное произведение есть каноническое сравнение В ((/) с самим собой и поэтому равно единице. Этим показано, что В (Г) 1к = [ ] есть единичный элемент в В ((/) для умножения яв. Аналогично устанавливается, что отображения
яв (1 0 я в), яв (яв 0 1): В ((/)'0 В (U) ® В (U) —> В ((/)
являются каноническими сравнениями и поэтому должны быть равными. Тем самым установлена ассоциативность, и В (U) превращается в DGA-алгебру. Имеется аналогичное доказательство коммутативности умножения.
По определению В = B/JB, где J — ядро пополнения е : (/ — ->К; следовательно, по лемме VII 1.3.2 ядро гомоморфизма р 0 р :В 0 В-+В 0 S есть объединение образов JB 0 В и В ® 0 JB. Поскольку жв — гомоморфизм ((/0(7)-модулей, он переводит это объединение в JB и тем самым индуцирует единственное отображение я : В ® В ->-В, для которого я (р 0 р) —_рлв. Из единственности этого разложения немедленно следует, что В является DG-алгеброй относительно умножения я с пополнением, определяемым изоморфизмом В0 ^ К, и что р — гомоморфизм пополненных алгебр.'
§ 12. Когомология коммутативных DGA-алгебр
399
Остается показать, что i: В -*-В есть гомоморфизм, т. е. что пв (i ® i) = in:B (U) ® В (U) В (U).
Так как яв — каноническое сравнение, то образ отображения л в (* ® 0 лежит в В с= В; на этом подмодуле ip действует тождественным образом и поэтому
ipnB (t ® i) == in (р ® р) (t ® i) = in (pi ® рг) = in, что и требовалось доказать. Этим доказательство закончено. Заметим, что умножения, определенные в В и U, определяют умножение в В; действительно, поскольку пв — гомоморфизм ((/®(/)-мо-дулей, мы имеем
Яв [(«i® &i) ® (и2 ® Ь2)] = (- l^eg^Kdegb!) UiU2nB 0 ь2) (12.3)
для любых двух элементов bu b2<zB (U).
Поскольку g — каноническое сравнение, его можно описать точной формулой; эта формула (исключая знаки) в точности совпадает с выражением для отображения g из теоремы Эйленберга — Зильбера, так как она вытекает из симплициальной структуры В ((/). Как и раньше (VII 1.8), пусть t есть (р, ^)-перетасовка, рассматриваемая как подходящая перестановка чисел {1..........р + q). Для
элементов
h -= [«11 . • • | ир], b2=[v11 ... | vq] ? В (V) определим билинейное отображение (перетасовочное умножение) * : В (U) ® В (V) -*• В (U ® У): для этого обозначим элементы «1 ® 1, . . ., ир ® 1, 1 ® Vi, . . 1 ® vq из U 0 V в указан-
ном порядке через wu . . ., wp+q и положим
[Ui \ ... | ыр]* [t)i|... | (—l)e(°[?»i-i(i)| • • • | Wt-цр+д)], (12.4)
где сумма берется по всем (р, q)-перетасовкам t, а показатель степени е (t) определяется в терминах полных степеней как
