Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Маклейн С. -> "Гомология " -> 171

Гомология - Маклейн С.

Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1988. — 535 c.
Скачать (прямая ссылка): gomologiya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 165 166 167 168 169 170 < 171 > 172 173 174 175 176 177 .. 227 >> Следующая

С топологической точки зрения в основе В-конструкции лежит «слой» U, с помощью которого строится косое произведение В (U) с группой U и соответствующая база В (U). Обратная задача построения (гомологии) слоя, исходя из заданной базы, геометрически очень важна. Для ее решения АдамС ввел двойственную В-конструкции конструкцию F (W), где W—градуированная коалгебр^ над К. Детали см. в работах Адамса [1956], [1960, стр. 33].
Замечания. Редуцированная В-конструкция В (U) принадлежит Эйленбергу и Маклейну [1950Ь]. Картан [1954] сделал важное заключение о том, что Б можно было бы получить из ацикличной В-конструкции В, и указал эффективный метод проведения вычислений с помощью «конструкций».
ГЛАВА XI
Спектральные последовательности
Если Г — нормальный делитель группы П, то гомология группы П может быть вычислена путем последовательных аппроксимаций из гомологий групп Г и П/Г. Эти последовательные аппроксимации отражены в понятии спектральной последовательности. В этой главе мы сначала опишем механизм спектральных последовательностей, а затем дадим несколько приложений, закончив одной общей теоремой (теоремой сравнения). Другие применения будут указаны в следующей главе.
В этой главе под словом «модуль» будет пониматься левый модуль А над фиксированным кольцом R, хотя во многих случаях с одинаковым успехом можно понимать под этим словом A-модуль или объект данной абелевой категории. Мы постоянно будем иметь дело с подфакторами S/К модуля А, где К cz S cz А. Напомним
(11.6.3): каждый модульный гомоморфизм а: А-»-А' индуцирует аддитивное отношение а# : SIK -+-S4K' данных подфакторов S/К и 57/С', состоящее из всех таких пар смежных классов (s + К, es + К'), что s ? S, as 6 S'. Если S, Т и U — подмодули модуля А, то модулярный закон утверждает, что Sn(TKjU) = = (S п Т) и U всякий раз, как 5 U. Отсюда следует, что 1А индуцирует изоморфизм (модулярный изоморфизм Нётер)
1, : S/[U и(5п Т)] ^(Su T)/(U и Т), S =з U.
Действительно, S/[U и (5 о Т)1 = S/[S n (Т и (/)]; в силу изоморфизма Нётер (1.2.5) правый модуль изоморфен модулю (Su Т и U)/(T u!/) = (Su T)/(U и Т).
§ 1. Спектральные последовательности
Z-биградуированный бимодуль — это семейство Е = {.Ер^} модулей, по одному для каждой пары индексов р, q = 0, ± 1, ± 2, Дифференциал d:E-+E бистепени (—г, г—1) есть семейство гомоморфизмов {d : Ep,q, -+Ep_r, Eq+T_1}, по одному для каждой
406
Гл. XI. Спектральные последовательности
пары р, q, причем d2 = 0. Гомология Н (Е) — Н (Е, d) бимодуля Е относительно этого дифференциала является биградуированным модулем {НР) q (?)}, определенным обычным способом:
Нр, я (Е)= Кег [d: ЕРу q • > EP-r, g+r-i\/dEp+rj q-r+i- 0*1)
Если Е превращен в (обычный) Z-градуированный модуль Е = = {Еп} с полной степенью п, полученной обычным путем Еп — ~ 2 Ер, 70 дифференциал d индуцирует дифференциал
p±q=n ’
d: Еп -+Еп-1 с обычной степенью—1, и Я ({Еп}, d) есть обычный градуированный модуль, полученный из биградуированного модуля Hp,q(E), Я„ = 2 Hp,q.
p+q=n
Спектральной последовательностью Е = {ЕТ, dr} называется последовательность Е2, Е3, . . . Z-биградуированных модулей, обладающих дифференциалами
dT: Ер, g —Ер-Г, д+г-ь г — 2,3,..., (1.2)
бистепени (—г, г — 1), причем имеют место изоморфизмы
Н(ЕТ, dT)=*Er+1, г = 2,3,.... (1,3)
Более коротко, каждый бимодуль Er+1 является биградуированным модулем гомологий предшествующего модуля (Ет, dr). Таким образом, Ет и dr определяют Ет+1, но не определяют dr+1. Бигра-дуированный модуль Е2 является первым (начальным) членом спектральной последовательности (иногда удобно начинать спектральную последовательность с г — 1 и с начального члена Е1).
Если Е' — вторая спектральная последовательность, то гомоморфизм / : Е -у Е' — это такое семейство гомоморфизмов
Г:ЕГ->Е'\ г = 2,3,...,
биградуированных модулей, каждый бистепени (0, 0), что dTfr = = frdr и каждый гомоморфизм fr+1 является отображением, индуцированным/'- на модулях гомологий [используя изоморфизм (1.3)].
Поучительно описать спектральную последовательность в терминах подмодулей модуля Е2 (или Е1, если рассматривается этот случай). Сначала отождествим бимодуль Er+1 с Я (Ет, dT) с помощью заданных изоморфизмов (1.3). Тогда Е3 = Я (?2, сР) становится подфактором С2IB2 модуля ?2. где С2 = Кег <Р. и В1 = = Im d1. Далее, Е* = Я (Е3, d3) — подфактор модуля С2/#2, изоморфный С3IB3, где С3/В2 = Ker d3, В3/В2 = Im d3 и В3 а С3. С помощью итерации спектральная последовательность представляется как башня
0 = В1сВ2сВ3с... с(?сСгсС1 = ?2 (1.4)
§ 1. Спектральные последовательности
407
биградуированных подмодулей модуля Е2 с Er+1 = CrIBr, причем гомоморфизм
(Г: -> Сг~ЧВг-\ г = 2, 3, ...,
имеет ядро С/Вг_1 и образ ВТ1ВГ~1. Говоря неформально,
Cr_1 — это модуль элементов, которые «остаются в живых»
до r-го шага;
Предыдущая << 1 .. 165 166 167 168 169 170 < 171 > 172 173 174 175 176 177 .. 227 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed