Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
2. Для спектральных последовательностей Е’ и Е" векторных про-
странств над полем построить спектральную последовательность Е = Е'®Е" с Ep\q'®E'p",q"> гДе сумма берется по всем р' + р" = р, q' +
+ <?" = <?, a dr определяется с помощью обычной формулы для дифференциала тензорного произведения.
3. Для спектральной последовательности ? проективных левых ^-модулей, левого ^-модуля С и правого ^-модуля G построить спектральные последовательности Ногпд (Е, С) и G Е и вычислить члены ?°°.
410
Гл. XI. Спектральные последовательности
§ 2. Расслоенные пространства
До изучения различных алгебраических примеров спектральных последовательностей полезно указать некоторые следствия, которые можно вывести непосредственно из определения спектральной последовательности. Для этой цели мы отметим без доказательства важный топологический пример спектральной последовательности расслоения.
Пусть / обозначает единичный интервал, и пусть Р — некоторый конечный полиэдр; напомним, что гомотопия — это непрерывное отображение Я : Р X / В. Непрерывное отображение /:?->• В топологических пространств, при котором / (Е) — В, называется послойным отображением, если любая коммутативная диаграмма следующего вида:
Р -^Е
»'(*)=(*.<>) хеР,
PxI^B,
(все отображения непрерывны) может быть всегда дополнена отображением L, сохраняющим коммутативность. Это есть свойство -«накрывающей гомотопии» для /: любая гомотопия Я пространства Р в В, начальные значения которой Я (х, 0) могут быть «подняты» до такого отображения h: Р -*-Е, что fh (х) = Н (х, 0), может быть сама накрыта гомотопией L пространства Р в Е, причем fL — Н и h (х) — L (х, 0). Если Ъ — любая точка из В, то ее полный прообраз F — f~lb называется слоем отображения / над Ь. Если пространство В линейно связно, то можно показать, что любые два слоя (над различными точками Ь) имеют изоморфные группы (сингулярных) гомологий. Следовательно, можно образовать группы сингулярных гомологий Яр (В, Hq (F)) пространства В с коэффициентами в группах гомологий Hq (F) «слоя». Строго говоря, мы должны использовать «локальные коэффициенты», которые объясняют действие фундаментальной группы пространства В на Hq (F); этого мы добьемся, предположив, что пространство В односвязно. Поскольку В линейно связно, его нульмерная сингулярная гомология такова:
Но (В) = Z, Н0 (.В, Hq (F)) s Hq (F).
Следующая спектральная последовательность была построена Серром [1951], следуя конструкции Лерэ [1946, 1950] для случая когомологии.
Теорема (Лерэ — Серр). Если f : Е В есть послойное отображение с линейно связной и односвязной базой Вис линейно
§ 2. Расслоенные пространства
411
связным слоем F, то существует для каждого п «сгнездившееся» семейство подгрупп группы сингулярных гомологий Я„ (Е)
О = Н_и „+1 с: Я0, п <= Ну, „_,с...с: Нп_у, с; Я„, 0 = Нп (Е) (2.1) и такая спектральная последовательность первой четверти, что ЕЪ , ^ Яр (В, Яд (F)), EZ, ^ Яр, ,/Яр.!, в+1. (2.2)
?с.ш ев — итерированный краевой гомоморфизм базы, то произведение
Яр (В) Яр, о/Яр^, t ^ Ер, о ?*, о =ё Яр (В, Я0 (F)) ^ Яр (В)
является гомоморфизмом, индуцированным на гомологии послойным отображением f : Е В. Если ер — итерированный краевой гомоморфизм на слое, то произведение
Hq (F) 25 Яо (В, Hq (F)) s El q Л El q -> Яд (?)
является гомоморфизмом, индуцированным на гомологии включением F а Е.
Эта спектральная последовательность связывает (сингулярную) гомологию базы и слоя с помощью Е2 с гомологией «полного пространства» Е, причем Е°° определяется последовательными факторгруппами «фильтрации» (2.1) гомологии пространства Е.
Теорема об универсальных коэффициентах (теорема V.1L1) выражает первый член из (2.2) в виде точной последовательности
О Нр (В) ® Hq (F) El,q -> Тог (Нр_! (В), Hq (F)) 0. (2.3)
В частности, если все группы Нр у (В) без кручения, то Ер, q = = Яр (В) ® Hq (F).
Предполагая известным этот результат, мы выведем некоторые следствия для иллюстрации того, какая информация может быть получена из спектральной последовательности.
Теорема Лерэ — Серра остается в силе, если все группы гомологий (пространств В, F и Е) интерпретировать как группы гомологий над полем Q рациональных чисел. Будем обозначать символом dim V размерность Q-векторного пространства V над Q. Для любого пространства X п-е число Бетти bn (X) и характеристика Эйлера % (X) определяются следующим образом:
Ьп (X) = dim Нп (X, Q), % (X) = 2 (- l)nbn (X);
п—0
более точно, число % (X) определено, если каждое из чисел bn (X) конечно и если существует такое т, что bn (X) = 0 для п> т. Если X — конечный полиэдр, число % (X) определено.
412
Гл. XI. Спектральные последовательности
1
Следствие. 2.1. Если /: Е В — расслоенное пространство со слоем F и если пространства В и F удовлетворяют условиям теоремы Лерэ — Серра, то число % (Е) определено, если определены числа %(В) и % (F) и %(Е) =% (В) % (F).
