Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Маклейн С. -> "Гомология " -> 166

Гомология - Маклейн С.

Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1988. — 535 c.
Скачать (прямая ссылка): gomologiya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 160 161 162 163 164 165 < 166 > 167 168 169 170 171 172 .. 227 >> Следующая

§ 11. Двухступенная когомология DGA-алгебр
393
К-модулей
Я* (U, 1; G) = Hh (Hoi% (В ({/), .G)), (11.1)
Я*(*Л 1;С) = ЯА(Ое®цЯ(1/)), * = 0,1.... (11.2)
Поскольку отображение В (U) еК определяется резольвентой, определение модуля Нк (U, 1; G) напоминает. определение (?/, К)-относительного периодического произведения Тог* (G8, гК), но этот модуль не есть относительное периодическое произведение, так как в определении ^пользуется полный дифференциал д* для В ({/), а не только дифференциал д', порожденный резольвентой.
Гомоморфизм (д,: ((/, е) ->(V, е') двух DGA-алгебр над фиксированным кольцом К — это такой гомоморфизм DG-алгебр, что e'[i = е: U К. Поэтому В (F) превращается при отступлении
в пополненный {/-модуль, а ц индуцирует гомоморфизм
В (ji): В (U) ->¦ цВ (V) пополненных {/-модулей, коммутирующий со стягивающей гомотопией. Отсюда следует, что Я* (U, 1; G) — ковариантный бифунктор аргументов U и G и что Hk (U, 1; G) — бифунктор, контравариантный по U и ковариантный по G. Редуцированная (конденсированная) В-конструкция также является ковариантным функтором из категории DGA-алгебр в категорию DG-модулей.
Модули (ко)гомологий алгебры U можно выразить через редуцированную В-конструкцию. Действительно, поскольку G есть К-модуль, каждый (/-модульный гомоморфизм В (U) -*¦ eG должен отображать JB (U) в нуль, где J — ядро по'полнения е : U -*¦ К, и, следовательно, индуцировать К-модульный гомоморфизм В (U) = = В (Lf)/JB (U) G. Этим устанавливается естественный изоморфизм
Я* (U, 1; G)^Hh (Ношк (В ((/), G)). (11.3)
Аналогично Ge(g)vB{U) = (G ® К8) ®у В (U) ^ G®K 5 ({/), так что
Я* (I/, 1; G) Я* (G ®к В ({/)). (11.4)
Если X -у еК есть произвольная ^-расщепляющаяся резольвента, состоящая из относительно свободных {/-модулей, то стандартными для сравнения рассуждениями устанавливаются изоморфизмы
Я* (U, 1; G) ^ Я* (Ноши (X* ,<?)) S Я* (Ношк (X*, G));
аналогичные утверждения верны относительно функторного поведения, а также для гомологий.
«Надстройка» отображает гомологию нулевого этапа в гомологию первого этапа. Пусть отображение S:U-yB(U) определяется
формулой 5 (и) = [«]; заметим, что 5 —это в точности стягиваю-
394
Гл. X. Когомология алгебраических систем
щая гомотопия, ограниченная подкомплексом U комплекса В (U). Значит, S является гомоморфизмом степени 1 градуированных К-модулей, причем dS = — Sd; следовательно, он индуцирует аналогичные отображения G ® ->G ® В (17) и Нот (В (U), G) -*¦
-*¦ Нот (U, G) и тем самым гомоморфизмы
S*:Hk(U,0;G)->Hh+l(U, 1;G), (11.5)
S*; Hh+1 (U, 1; G) —> Я* (?/, 0; G), (11.6)
называемые надстройкой; они будут использованы в следующем параграфе.
Для изучения зависимости Я (В (U)) от Я ((/) используем фильтрацию комплекса (DG-модуля) В. Пусть -Fp = Fp (В (U)) обозначает подмодуль модуля В, порожденный всеми элементами ш — [tii | ... | u^], где й<р; мы будем говорить, что такой элемент w имеет фильтрацию, не превосходящую р.
Предложение 11.1. Для каждой DGA-алгебры U ассоциированный комплекс В (U) имеет каноническое семейство подкомплексов Fp, F0 cz Ft с . . . с Fp с . . . с [J Fp = В (U). Элементы из В (U) общей степени п лежат в Fn. При р — 0, F0 ^ К
(К рассматривается с тривиальными градуировкой и дифференциалом), а при р > 0 существует изоморфизм цепных комплексов
FplFp-i^L (U/К) ® ... ® L ((//К) (р множителей). (11.7)
В проверке нуждается только последнее утверждение. «Внутренний» дифференциальный оператор д' из В переводит элементы фильтрации р в элементы той же фильтрации, а «внешний» дифференциальный оператор д' отображает элементы фильтрации р в элементы фильтрации р — 1, поэтому Fp действительно замкнут относительно полного дифференциала д = д' + д". Более того, при построении факторкомплекса Fp/Fp_i из полной границы исчезают члены, отвечающие д’, так что взятие границы в Fp/Fp-i определяется д" в согласии с формулой (10.7) при и — 1. Но это в точности формула для взятия границы в тензорном произведении р экземпляров комплекса L (U/К), так как знак, определяемый показателем ег, совпадает со знаком в формуле для взятия границы в тензорном произведении, а знак минус, стоящий перед суммой, введен в L (UIК) по определению L (д) 1и = — 1ди.
Цепное преобразование ft: X -*¦ Y комплексов называется гомологическим изоморфизмом, если Hn (|х) :Я„ (X) s Hn (Y) для каждой размерности п.
Теорема 11.2. (Эйленберг — Маклейн [1953b].) Пусть (х : U —*• V есть гомоморфизм DGA-алгебр над К, являющийся гомо-
§ II. Двухступенная когомология DGA-алгебр
395
логическим, изоморфизмом. Кроме того, предположим, что К—поле, или что К = Z, и [)п и Vn — свободные абелевы группы для каждого п (т. е. свободные К-модули). Тогда индуцированное отображение В (ц,) : В (U) -> В (V) является гомологическим изоморфизмом и для каждого К-модуля G
Предыдущая << 1 .. 160 161 162 163 164 165 < 166 > 167 168 169 170 171 172 .. 227 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed