Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
д" (и [щ |... | ир]*) = ди [щ | ... | ир]* —
р ( ПО.7)
— ( ~ I)'*-1 “l«i! • • • |d«i| • • ¦ |«p]*>
г=1 J
д’(и[иi\... | Up]*) = (— 1 )60 uui [u2| ••• |иР]* +
р—t
+ S (— l)EfЫ[MlI ... |И|Иж| ... |Up]*-j- (10.8)
+ (— l)ep«[«i| ••• |“p-il*e(Up),
где показатели ег у —1 определяются для i = 0..........р равенством
e^i-fdegu + deguH-----------(- deg ыг = deg (и [Uj |]... |ыг]). (10.9)
Исключая знак, д" совпадает с дифференциалом тензорного произведения, а д' похож на дифференциал В-резольвенты. Между прочим, знаки в (10.7) и (10.8) могут рассматриваться как результат нашего обычного соглашения о знаке.
Из теоремы 10.2 следует
§ 10. Резольвенты и конструкции
391
Теорема 10.4. Для каждой DGA-алгебры U конденсированная левая В-конструкция В* (U) = ? PU ® (UIK)p является пополненным левым U-модулем с пополнением е|, градуировкой (10.4), дифференциалом д* = д' + д", где д' и д" из (10.7) и (10.8), и стягивающей гомотопией (10.6).
Эту теорему можно доказать и непосредственно с помощью указанных выше формул, проверив по пути формулы (10.2), (10.3) и соотношение д'д" + д"д' = 0.
В дальнейшем мы используем только конденсированную В-конструкцию для DGA-алгебр, и поэтому мы будем опускать лишнюю с этого момента звездочку. Внимательный читатель может заметить, что знаки, встречающиеся в формуле для взятия границы, не совпадают со знаками, появляющимися в В-резольвенте из §2 для алгебр. Изменение знаков может быть получено с помощью операции Ьр. Мы обошли этот мелочный контроль за изменением, получив знаки из (10.2) и (10.3).
Как и для любого {/-модуля, редуцированная В-конструкция В (U) имеет вид КЕ ® VB ({/), и В (U) рассматривается как градуированный К-подмодуль модуля В (U).
Следствие 10.5. Для каждой DGA-алгебры U редуцированная В-конструкция В (U) является DG-модулем над К, причем В (U) — YjLv ((VIК)р). Если элементы этого модуля обозначить [«11 ... | ир], щ ? U, то степень этих элементов определяется формулой (10.4), в которой нужно опустить и, а дифференциал д — д' + д" определяется формулами (10.7) и (10.8), в которых и = 1 и «! нужно заменить на е («i) в первом члене правой части формулы (10.8).
Отметим также, что проекция р: В (U) -*¦ В (U) В (U)JJB (U) задается формулой р (и [щ | . . . | ир]) = е (и) [щ I . . . | ир\ и является морфизмом DG-модулей степени нуль. Изоморфизм <р: В (U) ^ U <2> В (U) задается формулой <р (и [щ | . . . | ыр]) = = и <gi [ut | . . . j Up]; он является изоморфизмом модулей над градуированной алгеброй U, но не относительно дифференциала, так как уд' Ф д'ф.
В-конструкция обладает хорошим свойством:
s_iK и sB (V) = В ({/); (10.10)
что можно выразить следующим образом словами: образ стягивающей гомотопии в точности равен редуцированной В-конструкции, рассматриваемой как градуированный подмодуль модуля В.
Следствие 10.6. И В (U), и В (U), причем В (U) вместе со стягивающей гомотопией, являются ковариантными функто-
392
Гл. X. Когомология алгебраических систем
рами из категории DGА -алгебр U в категорию DG-модулей над К. Кроме того, р: В В и i: В В являются естественными преобразованиями этих функторов.
Доказательство. Если ц: U -*• V есть гомоморфизм DGA-алгебр, то В (V) отступлением вдоль ц превращается в (/-модуль, по-прежнему имеющий К-модульную стягивающую гомо-топию. Следовательно, каноническое сравнение из теоремы 10.3 определяет единственный гомоморфизм
B(ii):B(U)^B(V) (10.11)
(/-модулей, для которого г'В (ц.) = е. Кроме того, JB (U) отображается в ц (/) В (У), так что В (ц.) индуцирует такой гомоморфизм В (ц)> что рВ (ц) = В ((a) р. Эти отображения превращают В и В в функторы, что и утверждалось.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Описать в явном виде ?-конструкцию в случае, когда К = Zp есть кольцо вычетов по модулю р и U = Е (х) — внешняя алгебра с образующим нечетной степени.
2. Получить резольвенту для еК> когда К — Zp, U = Р [*]/(хр) является факторкольцом кольца многочленов от неизвестного х четной степени по идеалу, порожденному
3. (Единственность сравнения.) Если X -*¦ еК. — относительно свободная резольвента, а С — любая конструкция для U со стягивающей гомотопией t, то существует не более одного гомоморфизма <р : X* С пополненных (/-модулей, для которого q> (X*) с: t^K vj tC.
§ It. Двухступенная когомология DGA-алгебр
Когомологию DGA -алгебры U с коэффициентами в (тривиально градуированном) К-модуле G можно определить в два этапа. На нулевом этапе U рассматриваем как комплекс (= DG-модуль), пренебрегая частью структуры; тогда Як (U,G) и G<S>k(/ — это комплексы, (ко)гомология которых состоит из К-модулей
Hh (U, 0; G) = Hk (Ношк (V, G)),
Hh(U,Q;G) = Hk(G®KU), ? = 0,1,....
На первом этапе G с помощью отступления превращается в (/-модуль, а левая В-конструкция B(U) вместе с полным дифференциалом д* является левым U-модулем. Поэтому Horny (В ((/), eG) и Ge® цВ (U) будут DG-модулями с (ко)гомологией, состоящей из
