Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
?г-1 — это модуль элементов, которые ограничиваются при г-м
шаге.
Модуль элементов, «живущих вечно»,— это
С°° = пересечение всех подмодулей СТ, г — 2, 3, . .
а модуль элементов, которые «когда-либо ограничивают»,— это В°0=объединение всех подмодулей Вг, г — 2, 3..................
При этом В“ с С°°, так что спектральная последовательность определяет биградуированный модуль
??e = C?,/B?:e, ?*={??.«}• 0-5)
Мы рассматриваем члены Ег спектральной последовательности как последовательные приближения (посредством последовательного образования подфакторов) к Е°°. При представлении (1.4) гомоморфизм f: Е -*-Е' спектральных последовательностей — это такой гомоморфизм f : Е* -> Е'2 биградуированных модулей бистепени (О, 0), что f (Сг) с: С'г, f (Вг) с; В'г и что все диаграммы
Cr-i/Br'Ji ?* Ст~1/Вг~у
If* r 1 /*
С'г"1/В'г~1 С,т-1/В,т-1
коммутативны. Таким образом, f:E-*-E' индуцирует гомоморфизм f°° : Е°° —> Е'°°.
Спектральная последовательность Е называется последовательностью первой четверти, если Erp, q = 0 при р < 0 или q С 0. (Из выполнения этого условия для г = 2 следует его выполнение для больших г.) Удобно изображать модули Erp q целочисленными
408
Гл. XI. Спектральные последовательности
точками в первой четверти плоскости (р, q):
Я
Я
(• • •
(1.6)
Р
Р
Тогда дифференциал dT указывается стрелкой. Все члены полной степени п лежат на прямой р + q = л, идущей под углом 45°; последовательные дифференциалы выходят из целочисленной точки подобной прямой и направлены в целочисленную точку следующей прямой, лежащей ниже. В каждой целочисленной точке комплекса Ер, q следующая аппроксимация E^q образуется взятием фактор-модуля ядра дифференциала, выходящего из этой точки, по образу дифференциала, оканчивающегося в этой точке; эти отображения указаны в последовательности
Выходящий дифференциал dr оканчивается вне первой четверти, если г > р; приходящий дифференциал dr начинается вне этой четверти, если г > q + 1, поэтому
То есть для фиксированных степеней р и q модули Ер, g постоянны для всех г, за исключением конечного числа членов.
Члены Ер, q, лежащие на оси р, называются членами базы. Каждая стрелка dT, оканчивающаяся в базе, приходит снизу и, значит, из 0, поэтому каждый член Ер%* является подмодулем модуля Ер, о, а именно ядром dr: Ер, о —>- ?p_r, r-i• Это обстоятельство приводит к последовательности мономорфизмов
Члены E0fq, лежащие на оси q, называются членами расслоения (или слоями). Каждая стрелка, выходящая из слоя, оканчивается слева в нуле, следовательно, Ео, q состоит из циклов и следующий член расслоения является фактормодулем модуля Ео, q (по образу
Ep+r, q-r+i —¦> Ср, q
Er?\ = Erp,q, co>r >Мах(р, 9+1). (1.7)
(1.8)
§ J. Спектральные последовательности
409
дифференциала dT). Это приводит к последовательности эпиморфизмов
Ео,, Ео, в -> ?о, 9 • • • ->??+! = Ео.(1.9)
Отображения (1.8) и (1.9) известны под названием краевых гомоморфизмов (мономорфизмов на базе, эпиморфизмов на слое).
Говорят, что спектральная последовательность Е ограничена снизу, если для каждой степени п существует такое целое число s = = s (п), что Е%, q, — 0, когда р < s и р + q = п. Это эквивалентно требованию, что на каждой наклоненной под углом 45° прямой (Р + q = п) с убыванием р все члены становились равными нулю; таким образом, спектральные последовательности первой или «третьей» четверти ограничены снизу.
Теорема 1.1. (Теорема об отображении.) Если f : Е -+-Е' — гомоморфизм спектральных последовательностей и если f : Е1 es: Е'1 — изоморфизм для некоторого t, то и fr : Ег ^ Еп — изоморфизм при r^t. Если, кроме того, последовательности Е и Ег ограничены снизу, то и /°° : ?°° ^ ?'°° является изоморфизмом.
Доказательство. Поскольку fl — цепной изоморфизм и ?1+1 = Я (?', d4), то . первое утверждение доказывается по индукции. Если последовательности Е и Е' ограничены снизу и пара чисел (р, q) фиксирована, то дифференциал dr : ?р, q -+Ер-Г, q+r~i имеет образ 0 для достаточно больших г. Следовательно, Cp,q = Cp>q и Cp^q — C^q для больших г. Значит, всякий
элемент a' ? C^q лежит в Ср, q, так что из эпиморфности f следует эшшорфность /°°. Если fa ? В'°°— (J В'Т для а 6 С°°, то fa ? В’т для некоторого г. Следовательно, если /г — мономорфизм для всех г, то /°° — мономорфизм.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать, что башня (1.4) вместе с последовательностью изоморфизмов O'-: Cr~1/Cr & Вг/Вг~1 бистепени (—г, г — 1) для г = 2, 3, ... определяет спектральную последовательность, в которой Ег ~ С'~1/Вг~1 и dr равняется произведению Сг~1/Вг~1 Сг~1/Сг Вг/Вг~г -*¦ Сг~1/Зг~1, и что каждая спектральная последовательность изоморфна последовательности, полученной указанным способом.
