Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
lb:Hk(U,UG)^Hk<y,UG); H*:Hh(V,l;G)^Hh(U,\;G). ( '
Доказательство есть упражнение в использовании фильтрации и леммы о пяти гомоморфизмах.
Во-первых, ц переводит \и в 1у и, следовательно, индуцирует цепное преобразование U/K -*• V/К. Мы утверждаем, что это преобразование — гомологический изоморфизм. Действительно, дополнительные предположения (К — поле или К = Z, UQ — свободная группа) показывают, что I:K-*-U есть мономорфизм, поэтому К >-» U U/К есть точная последовательность комплексов, кото-
рая отображается посредством р, в соответствующую точную последовательность для V. Следовательно, ц отображает точную гомологическую последовательность первой точной последовательности в точную гомологическую последовательность второй. Для п> 2 Hn-1 (К) — 0 и точная гомологическая последовательность сводится к изоморфизму Hn (U) a* Hn (UIК). При n = 1 она принимает вид
О Ht (U) -> Н, (UIК) -> Н0 (К) -> Н0 (U) -> Я„ (U/K) -> О,
где Н0 (К) ^ К. Эта последовательность отображается посредством ц в соответствующую последовательность для V. Двумя применениями леммы о пяти гомоморфизмах устанавливаются изоморфизмы Hi (U/K) S #i(V7K), Ho (U/K) & Ho (V/K), так что ц: U/К -*¦ V/К действительно гомологический изоморфизм.
Теперь рассмотрим отображение В (ц) : В (U) ->• В (V), точное выражение которого таково:
B(jl)[Ui| ... | Un\ = [Ц.Ы4 | ... \\iun].
Это отображение сохраняет фильтрацию, т. е. переводит Fp — = Fp (В ({/)) в F'p = Fp (В (У)). Мы утверждаем, что индуцированное отображение FpIFp-i -*¦ F'v/F'p~t есть гомологический изоморфизм. Действительно, фактор комплекс Fp/Fp-1 — это в точности n-кратное тензорное произведение (11.7), и индуцированное отображение равно ji ® . . . ® ц (п множителей). Если К — поле, то это отображение является гомологическим изоморфизмом по тензорной формуле Кюннета (теореме V.10.1). Если К — Z и все группы Un и Vn свободны, то оно является гомологическим изомор-
396
Гл. X. Когомология алгебраических систем
физмом по следствию из формулы Кюннета для этого случая (следствие V.11.2).
Наконец, мы утверждаем» что : Fp -*-F'p—гомологический изоморфизм. Доказательство проводится индукцией по р. Для р = О это очевидно, поскольку F0 = К = F'0. Для больших р ц отображает точную последовательность Fp-1 >-> Fp Fp/Fpкомплексов в соответствующую точную последовательность для F'p. Тогда длинные точные гомологические последовательности образуют коммутативную диаграмму с первой строкой
Яа+1 (Fp/Fp-1) -> Hk (Fp-J -> Hk (Fp) ->
-> Hh(Fp/Fp-i) -* Hh-i (Fp-t)
и вертикальными отображениями, индуцированными ц. По индуктивному предположению и в силу предыдущего результата для FpIFp_t четыре крайних вертикальных отображения являются изоморфизмами, так что лемма о пяти гомоморфизмах доказывает изоморфность отображения Hk (Fp) -> Hk (Fp) для любого k.
Поскольку для каждой полной размерности п, FPB .при большом р содержит все элементы из В этой размерности, из доказанного следует, что В (ц.) : В (U) -*¦ В (У) есть гомологический изоморфизм. Изоморфизмы (11.8) теперь следуют из подходящей теоремы об универсальных коэффициентах (К — поле или К = Z и В — комплексы свободных абелевых групп).
УПРАЖНЕНИЯ
1. (Теорема о стягивании. Эйленберг—Маклейн [1953 Ь, теорема 12.1].) Если \i: UV, v : VU суть гомоморфизмы СОЛ-алгебр, причем ц/v = 1, и если существует такая гомотопия t, что td + dt =vfi — 1, |*f =0, tv = 0, то можно доказать существование такой гомотопии 7, что dt + Й = В(\) В (fx) — 1, В (ц) 7 = 0, (В (v) = 0.
2. Получить фильтрацию из предложения 11.1 для произвольной <М-расщепляющейся относительно свободной резольвенты для еК, состоящей из {/-модулей.
§ 12. Когомология коммутативных ZM/Л-алгебр
Пусть U и V — две DGA-алгебры над К. Их тензорное произведение (/® V также является DGA-алгеброй, в то время как тензорное произведение (/-модуля и У-модуля является ((/® У)-модулем. В частности, 5-конструкции В (U) и В (V) порождают пополненный ((/® У)-модуль В (U)®B (V). Этот модуль является конструкцией со стягивающей гомотопией t, определенной в размерности —I формулой s_! ® s-i : К -*¦ В ® В и в положительных размерно-
§ 12. Когомология коммутативных DGA-алгебр
397
стях обычной! формулой t = s ® 1 + s_te ® s для тензорного произведения гомотопий. Кроме того, модуль В (U)<g)B (V) относительно свободен. Действительно, изоморфизм В (U) a* U ® B(U) это изоморфизм модулей над градуированной (но не дифференциальной) алгеброй U, так что
есть изоморфизм модулей над градуированной алгеброй U ® V (без дифференциала) и В (U) <g> В (V) — относительно свободный модуль. Можно показать, что его редуцированный DG-модуль есть в точности тензорное произведение В (U) ® В (У)| DG-модулей В (U) и В (V). Наконец, по предложению 9.3 конструкция В (U) ® ® В (У) могла бы быть получена как конденсация, именно как конденсация тензорного произведения исходных В-резольвент. Следовательно, мы можем применить теорему сравнения для получения гомоморфизмов пополненных (U®V)-модулей
