Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Если С заменить комплексом В (А, С), то отсюда вытекает естественный изоморфизм
Ext^K) (С, Л) =* Ext?A,°K) (С, LPA), (8.5)
который при п = 0 дает предшествующий изоморфизм. Аналогично Ех^лГю (С, А) ~Ext(A,°K) (L*C, А). (8.6)
Эти функторы Ext оказались полезными при изучении алгебры Стинрода для фиксированного простого числа р; это алгебра над
полем Zp вычетов по модулю р, состоящая из всех примарных (по р)
когомологических операций (Адамс [1960], Лиулевичус [I960]).
УПРАЖНЕНИЕ
1. Для градуированной алгебры Л рассмотреть соответствующую внутренне градуированную алгебру Л* = 2-Л71 просто как неградуированную К-алгебру. Аналогичным образом Л-модули С и С определяют Л*-модули G* и С*. Доказать, что
Тог(Л*, К) CJ а ^ Tor^’/) (G, С).
V
384
Гл. X. Когомология алгебраических систем
§ 9. Комплексы комплексов
В любой абелевой категории можно построить комплексы; в частности, можно построить комплексы в категории, объекты которой сами являются комплексами, а морфизмами служат цепные преобразования. Эта ситуация встретится в следующем параграфе при изучении нами DG-алгебр.
Комплекс X комплексов может быть представлен в виде диаграммы
Хр: • • • ~* XPf g+i d Хр, q d Xp, q-1
I I6' I8' I9'
Хр-,: • ' ' ' *Хр-1, 2+1 d Хр-1, q d Xp-1, q-1
с дополнительными строками сверху и снизу. Каждая строка Хр — это комплекс с дифференциалом d, а последовательность строк образует комплекс с другим дифференциалом д', который является цепным преобразованием д': Хр -*• Xp_i. Следовательно, d’d = = dd'. Изменим знак у d, положив d"xp,q = (—1 )pdxp,q. Эго дает два семейства граничных гомоморфизмов
д': Х„ q > Хр.и q, & : ХР) q >XPt g_lt
для которых д'д' = 0, дяд" = О, д'д" + д"д' = 0. Формально •отсюда следует, что (д' + д") (д' + д") = 0. Поэтому семейство X*, 3*, определенное посредством равенств
(Х*)п= 2 Xp,q, д* = д' + д\
p+q=n
является (простым) комплексом. Мы будем говорить, что X* получен из X конденсацией-, степень этого комплекса является суммой двух данных степеней; его граничный гомоморфизм д* есть сумма двух данных дифференциалов с измененным знаком. Это изменение знака можно было бы оправдать при более систематическом рассмотрении.
Пусть & — некоторая абелева категория. Напомним, что (положительный) ^-комплекс X—это семейство {Хр} объектов из fr, причем Хр — 0 при р < 0, вместе с такими морфизмами д : Хр Xp_i из что д2 = 0. Эти комплексы X являются объектами категории ^-комплексов X (&). Морфизмы из (&) — это цепные преобразования f : X -+Y; они являются семействами Аморфизмов {fp : Хр -*¦ Yp}, причем dfp = fp-td для всех р. Цепная гомотопия s : f ~ /' : X -> Y является семейством sp : Хр ->У_р+1 таких Аморфизмов, что ds + sd = / — Мы будем использовать также цепные отображения h : X -+Y степени d, т. е. семейства {hp : Хр -*¦ Yp+d} таких Аморфизмов, что dh —
§ 9. Комплексы комплексов
385
= (—l)dhd. Мы не вводим явно категорию со всеми такими цепными «отображениями» в качестве морфизмов, так как наше рассмотрение абелевых категорий приспособлено только для случая морфизмов степени 0.
Поднимающий функтор L из § 8 дает ковариантный функтор из X (&) в X (#), который сопоставляет каждому комплексу X комплекс L (X) с L (X)n+i = Хп и дифференциалом L (д). Единица индуцирует цепное отображение /: X -*-L (X) степени 1; как и 6
(8.3), L (д) I = — 1д. Короче, L увеличивает все степени на 1 и изменяет знак у граничного морфизма.
Теорема 9.1. Конденсация является ковариантным функтором X (X (&))-+X (&).
Доказательство. Пусть X — положительный комплекс положительных комплексов вида
0 <— Хо <— Xj <— • • • <— Xp-i —> Хр <— • * * .
Здесь Хр — комплекс, др — цепное преобразование комплексов. Заменим этот комплекс диаграммой X':
0«-Xo<-Xi«--------^Xp-i ^Хр
где каждое д’р —это цепное отображение .степени —1. Более точно, положим Xj, = LP(XP). Цепные отображения
Xp = LD-'{Xp) Л Lp~l (Хр) J—jj>-i (Xp_i) = Xp_i
определяют д'р как l~xLv (др) = Lp-X (др) /-1. Тогда дрдр+1 = 0. Каждый Хр — это ^--комплекс с дифференциалом, который мы обозначим как д". Следовательно, X* = ? Хр является ^-комплексом с дифференциалом д". С другой стороны, д'р : Хр -> Xp-t имеет степень —1, и, значит, определяет второй граничный морфизм в X*. Кроме того, д’ — это цепное отображение степени —1 для дифференциала д", так что д"д’ = — д’д". Поэтому морфизм д* = = д' + д" удовлетворяет соотношению д*д* = 0, так что (X*, д*)— это ^-комплекс, называемый конденсацией X. Это описание X* согласуется с первоначальным описанием, поскольку дифференциал д” в Хр отличается от дифференциала в Хр лишь р изменениями знака, вызванными применением р раз функтора L. Поскольку Хр, п = 0 при р~> п, при построении X* используются только конечные прямые суммы.
Пусть теперь /: X Y есть цепное преобразование. Оно является семейством цепных преобразований {/р : Хр Yp) и определяет
