Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
f = ^TT ?"bcd Rab ARcd- (27.67)
61 TT
При помощи структурных уравнений Картана (9.28) эта форма пред-
307 ставляется в виде
1
7
8тг2
Cabcd [шаЬ AducdшаЬ AuceAued
(27.68)
Отсюда и из формулы Стокса (6.5) следует, что интеграл от формы (27.67) по 4-пространству садится на границу. С другой стороны, нетрудно показать, что в локальных координатах
T = Лз\ (Д^лр Kiwxp - 4 Rltv Я"" + R2) ¦
¦dx° Л dx1 Л dx2 A dx3 . (27.69)
Из сказанного вытекает, что с точностью до несущественного в нашей задаче поверхностного члена
J d4x ^ RlivxpR^x" = J dAX ^ [A RtivR^ -R2). (27.70)
Это означает, что последнее слагаемое в правой части (27.66) нет смысла рассматривать, поскольку два предыдущих слагаемых поглощают его. Поэтому всегда можно считать, что
а5 = 0. (27.71)
Сначала рассмотрим случай плоского пространства, когда g?l/ = = Tjfiv. В этом случае в качестве оператора К в (27.64) нам следует использовать (см. (27.65) и (27.41)) оператор
Еф, у) = Sij 8(")(х - у) + Vc(x - у)
/dnk
T^Ti-• (27-72)
(2тг)" Jfe2+ гє v ;
Вначале положим Nij = 0. Тогда tr In К
= Vc(O) J dnxtiM(x)-
^ J (JnX1 J dnx2 trVc(X1-X2)M(X2)Vc(X2-X1)M(X1) + ....
(27.73)
308 Здесь многоточие означает остальные члены разложения по M, не содержащие расходимостей при п = 4.
При помощи поворота Вика имеем Vc(O) ~ Je dnk(k2)~l . Последний интеграл равен нулю вследствие (27.54) Поэтому расходимость содержится лишь во втором слагаемом в (27.73).
Во втором слагаемом в правой части (27.73) расходимость имеется в интеграле при Xi —> х2- Поэтому воспользуемся формулой М(х2) = M(xi) + (х2 - Xi)? (M(Xi))ifl + • • •¦ Очевидно, что в правой части последнего равенства все слагаемые, кроме первого, не дают вклада в расходимость. Следовательно, расходящаяся или полюсная часть выражения (27.73) равна
(trlnK)pol = -1- j d4x tr M2(X)-Q
dnk 1
(2гг)п (к2 +is)2
Ol
(27.74)
Сделаем поворот Вика к0 = г к4, после чего воспользуемся формулой (27.53) с с > 0. Физическая интерпретация использования формулы (27.53) заключается в том, что выделяется расходимость не на малых, а набольших импульсах. Имеем
d"k 1 ^ (27.75)
(2-7г)п (к2 + is)2 Jро1 є ¦
Сопоставляя равенства (27.64), (27.74) и (27.75), мы видим, что в рассматриваемом случае в амплитуде перехода имеется расходимость
(ф" I ф1 )d ~ exp I ± J d4x tr M2 j , (27.76)
которая компенсируется контрчленом, если положить
= (27.77)
Теперь рассмотрим случай M = 0. Тогда согласно (27.66) и (27.60)
AjC = -I tr [ (ai - 2а2) (N11 N")2 + 2а2 N11 Nv An' Nv + ..], (27.78)
где многоточие означает сумму членов, содержащих величины OflNv в степени не ниже первой. С другой стороны, вклад в расходящуюся часть trln А' такого же вида, как выписанный в (27.78), легко
309 вычисляется непосредственно. Для этого следует разложить InK по второму слагаемому в правой части (27.72) до четвертого порядка. Как обычно, расходящаяся часть возникает при слиянии точек в координатном пространстве. Простое вычисление приводит к следующему выражению для расходящейся части:
(tr lnA")poJ = -4 J d4x tr N"1
/'dnk 4 (27г)п ^c ^ ^ ^fll к^kfi3 к
ДГМЭ Д№э
(27.79)
pol
Сделаем поворот Вика, после чего усредним по всем углам в пространстве 4-импульса. В результате этого должна быть сделана замена:
(к2)2
kMl kfi2 к,з кц4 —>¦ 2) (7^mi1Iiiifn + I?iii* V/iзін + ІІІЧИ ііііііз ) •
(27.80)
Действительно,
(*o)4-*(i*4)4-^(*2)4V
(к0)2 kikj -> (ik4)2 kikj ->¦ (к2)2 т]оо щ , г, j = 1, 2, 3 и т.д.
Теперь после простого вычисления с использованием формул (27.64), (27.75), (27.79) и (27.80) находим необходимый контрчлен для устранения расходимости. Сравнивая его с (27.78), получаем
а!-2а2 = 1, 2а2 = ^. (27.81)
Если полученные формулы применить для вычисления однопе-тлевого контрчлена в модели однокомпонентного вещественного скалярного поля (27.2), то следует положить Nfl = 0 , M = га2 +1 А ф2с1. Тогда ^
A-C= ~ (т2 + \\ф2с14
Это совпадает с полученным ранее результатом (27.28), (27.29).
Теперь займемся вычислением контрчлена в искривленном пространстве в случае N11 = 0.
310 Для облегчения вычислений воспользуемся свойством общей ковариантности амплитуды перехода (27.64) и тем фактом, что расходимость в точке X зависит от полей в бесконечно малой окрестности точки X. Это позволяет при вычислении контрчлена вблизи точки X использовать вблизи этой точки гармонические координаты, обладающие также свойством
яАУ) = V + VM . IVMI«1- (27-82)
Введение указанных координат вблизи любой точки всегда возможно. Действительно, сначала выберем нормальные координаты Римана (10.9) с центром в точке х, в которых (см. (14.1)) ГА(х+т/) ~ ~ 0(| г/|). Затем вблизи точки х введем новые гармонические координаты у1, решая уравнение (14.3) в є-окрестности точки х. Легко получается следующая оценка для Tjfi (у) = y? —y? в е-окрестности: I Tjfl І ~ 0(е3). Это означает выполнение условий (27.82).
В гармонических координатах оператор (27.65) принимает вид
