Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
27.4. Размерная регуляризация
Индекс расходимости диаграммы существенно зависит от размерности координатного ^-пространства, которую обозначим через п. Поскольку в любой диаграмме (в импульсном представлении) подынтегральное выражение для всех п дает одинаковый вклад в индекс диаграммы, то индекс зависит от размерности пространства лишь через зависимость от числа п меры интегрирования. Произведение независимых дифференциалов дает вклад в индекс L-петлевой диаграммы, равный
Отсюда видно, что диаграммы, расходящиеся при п > 4, могут оказаться сходящимися при п < 4. Очень важно, что большинство свойств симметрии теории не зависит от размерности пространства. В случае теории гравитации важнейшей из таких симметрии является калибровочная инвариантность или общая ковариантность. Корректно построенная диаграммная техника содержит в себе симметрии теории. Более того, симметрии теории сохраняются в диаграммной технике также при произвольных комплексных числах п, хотя при ненатуральных числах п невозможно говорить о лагранжиане теории. Однако диаграммы Фейнмана могут быть корректно определены при комплексных п. При этом оказывается, что диаграммы Фейнмана являются сходящимися почти во всей
Д ш = ті L .
(27.43)
301 комплексной плоскости переменной п, за исключением особых точек. Особые точки бывают при некоторых натуральных п, вблизи которых имеются полюсные особенности, отражающие логарифмические расходимости исходной теории.
Таким образом, при помощи аналитического продолжения диаграмм Фейнмана по числу п в комплексную плоскость мы можем корректно регуляризовать ряд теории возмущений, сохраняя важнейшие симметрии теории. Полюсные особенности диаграмм, имеющиеся при нужном значении п, устраняются при помощи введения соответствующих контрчленов. Такая схема регуляризации была предложена и впервые использовалась в работах [33-35].
В качестве примера рассмотрим одну из диаграмм Фейнмана на рис. 5, каждая из которых представляется интегралом
Здесь р - произвольная константа, имеющая размерность массы. Поэтому Ao - безразмерная константа связи. Представим причинные гриновские функции в (27.44) в виде (см. (27.21):
Для удобства перейдем в евклидово пространство при помощи поворота Вика q° = і qn , p0 = ірп. В результате поворота Вика диаграммы Фейнмана не изменяются. Действительно, поворот Вика может рассматриваться как непрерывный поворот вида q° = (ехргф) q11, причем "угол" ф меняется от нуля до тг/2. В указанном интервале переменной ф интеграл (27.45) не зависит от ф. При ф = 7г/2 мы имеем поворот Вика. Существование поворота Вика в диаграммной технике Фейнмана является следствием определенного расположения полюсов у причинной гриновской функции. В результате интеграл (27.44) переписывается в виде
•ехр{—га (q2 + то2) - i? [ (р - q)2 + т2] - ? (а + ?) } . (27.46)
В (27.46) интеграл по переменной q является гауссовым и потому вычисляется при помощи формулы (26.17), где следует сделать
I=
J (27.44)
302 замены N ті, M -> -[2 (а + /?)] ? -> 2 ?p. После взятия интеграла возвращаемся в пространство Минковского:
/-0° /-0° 1 Г а/?
7с daJ0 ^j^w^^v^b"2 ~l{a+?)[m2 ~іє)
(27.47)
Перепишем интеграл (27.47) в новых переменных интегрирования a = Xt, ?=(l-X)t, 0 < А < 1, 0 < t < оо:
f
Jo
L
rf«1-"/2 exp{—t [-ІХ (1 - A) p2 + im2 + є] } . (27.48)
'о
Внутренний интеграл в (27.48) вычисляется при помощи формулы dt-tz~le~kt = k~zT(z), Rek > 0. (27.49) В нашем случае 2 = 2 — п/2 , к = г [га2 — А(1 — А) р2 ] + е. Имеем
7 = і' rfA [Ш2 - - ' (27'5°)
В (27.49) и (27.50) Г(г) является гамма-функцией Эйлера.
При п -> 4 выражение (27.50) стремится к бесконечности, так как гамма-функция в нуле имеет полюс. Это стремление к бесконечности отражает тот факт, что диаграммы на рис. 5 расходятся в четырехмерном пространстве. Разложим правую часть в (27.50) в ряд Лорана в точке п = 4 , воспользовавшись формулами
T(Z)=IM, Г(1) = 1.
Z
Имеем
г'А2 + iAjj [V-(I) - In 4тг]
(4тг)2 (4 - п) 8 (2тг)
Af_ f1
M2 J0
ІА2 Ґ m2 -А(1-А)р2-г? Wio ?
303 , rflnlYa)
Ф(а) = (27-51)
Теперь учтем, что все три диаграммы на рис. 5 дают одинаковый вклад в полюсный член и сравним расходящиеся вклады в формулах (27.23) и (27.51). Таким путем можно сделать следующее отождествление:
ц 4 - п ?
Приведем известную формулу для n-мерного евклидовского интеграла:
Je WTc^ - Fh ' ( J
Правая часть последнего равенства является аналитической функцией параметра п. Поэтому значение правой части равенства при комплексных п мы примем за определение интеграла, стоящего в левой части равенства (27.53). Из (27.53) следует, что
/г(^ = 0приа<5' (2"4)
Поэтому в методе размерной регуляризации отсутствуют квадратичные расходимости в четырехмерном пространстве. Из сказанного видно также, что логарифмические расходимости проявляются как полюса относительно параметра є в (27.52).
При вычислении фейнмановских диаграмм общего вида и методе размерной регуляризации используются также следующие правила:
