Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
290 изменяют эту диаграмму. Например, на рис. 5 в каждой диаграмме можно взаимно переставить внутренние линии. Число таких перестановок равно двум, и потому V2 = 2 для всех диаграмм на рис. 5.
Выписанные согласно изложенным правилам диаграммы будут также содержать несвязные диаграммы, как, например, изображенные на рис. 6. Первое слагаемое на рис. 6 является суммой всех связных диаграмм, т.е. таких диаграмм, все части которых соединены хотя бы одной линией. Члены суммы на рис. 6, заключенные в скобки, отличаются друг от друга на множители, представляющие собой некие диаграммы без внешних линий (вакуумные диаграммы). Если мы имеем слагаемое с т одинаковыми такими множителями, то соответствующая этому слагаемому диаграмма имеет фактор в числе Vn, равный га!. Отсюда становится ясно, что произвольная диаграмма Г, не содержащая несвязных (вакуумных) компонент, умножается на ряд
00 рт
?_2_ = ехрГо, (27.22)
m=О
где Го является суммой всех связных вакуумных диаграмм.
+
+
+
Рис. 6
Множитель (27.22) возникает перед всеми диаграммами. Поэто-
му мы можем поглотить его нормировочным множителем N (27.6), полагая его в дальнейшем равным единице.
-і
291 27.2. Проблема ультрафиолетовых расходимостей и понятие о перенормируемости
Рассмотрим интегралы в правой части (27.19) в ультрафиолетовой области (q —У со). Так как внешние импульсы и масса фиксированы, то ими можно пренебречь при вычислении расходящейся части интегралов в (27.19). Воспользуемся расположением полюсов причинной гриновской функции, которое позволяет проводить интегрирование по вдоль мнимой оси этой (комплексной) переменной. Иными словами, в интегралах (27.19) можно сделать подстановку q° = в результате которой следует сделать замены:
d4q —У г d3q dq4 = і d4p — q2 —У q2 + </4 = p2 . Тогда расходящаяся часть интегралов (27.19) равна
-,,(2) 3 2 [ d4q 2 Зі Ag [ d4p
= = Л —>¦ оо. (27.23)
16тН J? р 16тг р
Здесь индекс E у знака интегрирования означает, что интеграл берётся по евклидову пространству, Л - так называемый промежуточный импульс обрезания или параметр обрезания, ар- нижний предел интеграла, имеющий порядок физической массы частицы или внешних импульсов, который называется точкой нормировки.
Мы видим, что амплитуды перехода в квантовой теории поля содержат расходящиеся вклады.
Приведем еще один пример.
Диаграмма, изображенная на рис. 7, дает вклад в амплитуду перехода частицы в эту же частицу, причем в процессе этого перехода частица взаимодействует с вакуумом. Это взаимодействие приводит к перенормировке массы. Амплитуда на рис. 7 представляется следующим интегралом:
П = -?/ ^Лчі) Dciq2) T>c(k -qi- q2) ¦ (27.24)
Интеграл в (27.24) расходится квадратично. (Обратим внимание на то, что для диаграммы на рис. 7 порядок группы симметрии
292 'і
Рис. 7
V2 = 6, т.к. имеется 3! способов взаимных перестановок внутренних линий, не изменяющих эту диаграмму).
Вычислим индекс произвольной диаграммы. Для этого сделаем масштабное преобразование всех импульсов в диаграмме и массы частицы: к,, Pf1 g, т —> aki, apf, aq, am. При таком преобразовании подынтегральное выражение умножается на аш, где и и есть индекс диаграммы. Очевидно, что все внутренние линии дают вклад в число ш, равный (—2Ljn). Покажем, что число четырехмерных дифференциалов от внутренних независимых импульсов равно L = [Lin — (п — 1)]. Действительно, независимых внутренних импульсов в диаграмме с п вершинами имеется на (п — 1) меньше, чем внутренних линий, так как в каждой из п вершин имеет место закон сохранения 4-импульса. Однако совокупность п законов сохранения содержит в себе один закон сохранения внешних входящих и выходящих 4-импульсов. Этим объясняется уменьшение числа независимых 4-импульсов не на п, а на (п — 1). Поэтому мы имеем для числа и>:
W = 4 (Lin - п + 1) - 2 Lin .
Исключим из последней формулы число вершин п при помощи (27.20):
W =4 -Lex. (27.25).
Диаграмма является формально сходящейся, если ш < 0.
Равенство (27.25) означает, что формальная степень расходимости любой диаграммы зависит лишь от суммарного числа ее внешних
293 линий. Так, степень расходимости вакуумных диаграмм равна четырем, степень расходимости диаграмм с двумя внешними линиями равна двум, а диаграммы с четырьмя внешними линиями расходятся логарифмически. Все остальные диаграммы являются формально сходящимися. (Заметим, что в рассматриваемой теории не существует диаграмм с нечетным числом внешних линий). Однако это не означает, что отдельные части диаграмм с шестью, восемью и т.д. внешними линиями не могут расходиться. Например, диаграмма на рис. 8 содержит логарифмическую расходимость, поскольку в ней имеется такая же петля, как в первой из диаграмм на рис. 5.
Рис. 8
Из приведенного анализа можно сделать вывод, что рассматриваемая теория относится к классу перенормируемых теорий поля.
Перенормируемость теории поля означает наличие следующих свойств у этой теории.
Предположим, что в теории возмущений, описываемой рядом диаграмм Фейнмана, содержатся расходимости в диаграммах с ограниченным числом внешних линий. Для устранения расходимостей вводится промежуточная регуляризация, смысл которой заключается в обрезании петлевых интегралов по промежуточным импульсам неким параметром Л, стремящимся к бесконечности. Это обрезание производится таким образом, чтобы была сохранена лоренц-инвариантность, а также, по возможности, все прочие симметрии, имеющиеся в теории. Такая промежуточная регуляризация в физически значимых теориях (квантовая электродинамика, квантовая хромодинамика и т.д.) фактически означает, что исходные параметры теории "переделываются" или перенормируются. Так, в рассмотренной выше теории скалярного поля перенормируется лога-
