Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
294 рифмически (как функция Л) константа взаимодействия и квадратично - масса.
С другой стороны, мы можем считать исходные (затравочные) константы теории (массу, константу взаимодействия) зависящими от параметра обрезания Л, причем эта зависимость такова, что в каждом порядке теории возмущений расходимости, содержащиеся в петлях, сокращаются с расходимостями, содержащимися в константах теории. В этом случае мы можем перейти к пределу Л —У оо в каждом порядке теории возмущений. При этом ответы для амплитуд перехода и прочих физических величин остаются конечными. Таким образом, в перенормируемых теориях расходимости, содержащиеся в петлях, устраняются при помощи переопределения затравочных величин теории, и вычисления при помощи теории возмущений приводят к физически осмысленным результатам.
Продемонстрируем сказанное на примере перенормировки константы взаимодействия в скалярной теории поля во втором порядке. Пусть затравочная константа Ao во втором порядке теории возмущений выражается через физическую (наблюдаемую) константу связи А согласно формуле
Q \2 д
A0 = A+^ In-, A3 = AW). (27.26)
Константа Ao присутствует в исходном неперенормированном действии (27.1). Хотя формально разложение идет по затравочной константе, фактически все физические величины разлагаются по физической константе связи. Из формул (27.16), (27.19), (27.23) и (27.26) следует, что величина г (Af'1) + M^2') не зависит от импульса обрезания Л и выражается через константу А. Поэтому А называется физической или перенормированной константой связи. При этом амплитуда перехода как функция физической константы связи и прочих физических параметров (импульсов, физической массы) конечна. Это утверждение сохраняет свою силу в любом порядке теории возмущений.
Уточним условие перенормируемости. Теория (27.1) (аналогично любая другая теория поля) является перенормируемой, если разложение в ряд по физической константе всех величин в теории с
295 перенормированным лагранжианом
Cn = f [ [д»ф? - т2 ф2} - ^f ф2 - g Л ф* (27.27)
приводит к конечным результатам в пределе Л —»¦ оо. При этом предполагается, что
а) применяется изложенная выше диаграммная техника Фейнмана, в которой вместо Ao используется физическая константа связи А;
б) вещественные величины ?з, 24, Sm2 разлагаются в ряды по неотрицательным степеням А и являются функциями импульса обрезания Л.
Из приведенных выше вычислений следует, что 23 = 1 + 0(А2), Sm2 = 0{А2),
г4 = 1 + (27.28)
Подчеркнем, что перенормированный лагранжиан (27.27) по структуре совпадает с затравочным лагранжианом в (27.1-2). По существу эти лагранжианы совпадают: если в (27.1-2) сделать замены
ф ->¦ zl/2 ф, A0 z^2 Z4 А , mg ->¦ W2 + Zg1 Sm2 ,
то мы получим выражение (27.27). Константы А и т в (27.27) являются соответственно физической константой связи и физической массой.
Полезно переписать перенормированный лагранжиан в следующем виде:
Ся = \[(д,ф)2-т2ф2}-±ф4 + А?,
= ^ [ (^)2 - т2ф2 (27.29)
Здесь AC называется контрчленом. Его роль заключается в устранении расходимостей, возникающих при описанных выше вычислениях.
296 Согласно определению перенормируемой теории контрчлен имеет ту же структуру, что и затравочный лагранжиан. Это обстоятельство является чрезвычайно важным. Действительно, контрчлены определены неоднозначно, поскольку при изменении контрчленов на конечную величину они по-прежнему будут устранять расходимости. Однако указанные неоднозначности в перенормируемых теориях можно устранить путем проведения конечного числа экспериментов (в том случае, если эта теория является физической, а не модельной). После устранения этих неоднозначностей все предсказания теории оказываются однозначными.
Напротив, в неперенормируемой теории число типов контрчленов, необходимых для устранения расходимостей во всех порядках теории, равно бесконечности. Иными словами, в неперенормируемой теории полный контрчлен имеет бесконечное число слагаемых таких типов, которых не содержится в затравочном лагранжиане. Поэтому "перенормированная" неперенормируемая теория не имеет ничего общего с затравочной теорией. Так как каждый тип контрчлена приводит к дополнительной неоднозначности, то возникающие неоднозначности невозможно зафиксировать при помощи конечного числа экспериментов. Поэтому правильность тех немногочисленных вычислений, которые проводятся при помощи теории возмущений в неперенормируемых теориях, является проблематичной. Следует констатировать, что непертурбативные вычислительные методы, при помощи которых некоторые из неперенормируемых теорий поля могли бы приводить к надежным предсказаниям, в настоящее время не развиты.
Важнейшие фундаментальные взаимодействия в природе описываются при помощи перенормируемых теорий поля. Такова единая теория электромагнитного, сильного и слабого взаимодействия.
Мы увидим, однако, что квантовая теория гравитации, построенная в § 26, не является перенормируемой.
27.3. Выделение однопетлевых диаграмм
Рассмотрим произвольную теорию поля, в которой набор всех полей, включая фиктивные (духовые), обозначим через ф(х). Запишем сокращенно амплитуду перехода за бесконечный интервал времени
