Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Изложение этого параграфа основано на лекциях Дирака [17].
23.1. Классическая теория
Пусть C(q,q) - лагранжиан некоторой динамической системы. Буквой q мы обозначаем совокупность N вещественных переменных (?} и qn = dqn/dt, п = 1, ..., N. Таким образом, лагранжиан зависит от координат и скоростей. Уравнения Лагранжа
дС \ _ д? dt \dqnj Bqn получаются из вариационного принципа
(23.1)
SS
= S J C(q,q)dt = 0, (23.2)
причем координаты q варьируются независимо.
При переходе к гамильтонову формализму определяются импульсные переменные
В невырожденной теории импульсы являются независимыми функциями скоростей. В вырожденной теории это уже не так. В этом случае существует одно или несколько соотношений типа ф(д,р) = 0.
200 Таким образом, из определения (23.3) вытекают соотношения
Фт(я,р) = 0 , т = I, ..., M < N . (23.4)
Рассмотрим величину (pnqn ~ ?) и проварьируем ее, варьируя независимо координаты q и скорости д. При варьировании координат и скоростей варьируются также импульсы (23.3). Ниже, пока не будет оговорено, импульсы и их вариации предполагаются подчиненными уравнениям (23.3) и (23.4). Имеем
S{pnqn - С) = йрпЧп + PnSqn- (?^J - (&Чп ~
= qn Spn- (JL^J Sqn. (23.5)
Отсюда видно, что полная вариация величины Ti = pnqn — С зависит только от вариаций координат и импульсов. Это значит, что величина может быть выражена только через переменные q и р. Выраженная через координаты и импульсы величина Ti называется гамильтонианом. Из равенств (23.1), (23.3) и (23.5) получаем
Qn = т;— ) Pn = - д— • (23.6
Opn dqn
Уравнения (23.6) являются каноническими уравнениями движения Гамильтона в фазовом пространстве, которые эквивалентны уравнениям Лагранжа (23.1). Следует помнить, что в вырожденном случае переменные (q,p), кроме уравнений Гамильтона, удовлетворяют также связям (23.4).
Однако в вариационных задачах гораздо удобнее использовать формализм лагранжевых множителей, который в нашем случае принимает следующую форму.
Легко проверить, что уравнения (23.4) получаются из вариационного принципа:
SS = S
J (pnqn -И- итфт )dt = 0 . (23.7)
Здесь ит - множители Лагранжа. Если считать уравнения (23.4) выполненными, то вариационный принцип (23.7) приводит к уравнениям (23.6). На самом деле удобнее сначала получить уравнения
201 движения из вариационного принципа (23.7), не предполагая связи (23.4) выполненными. Затем множители Лагранжа выбираются так, чтобы связи (23.4) действительно выполнялись. Из (23.7) получаем
д% д&п
Чп = a--^ и"
Q 1 ^7 Il л J
ор„ дрп
дП дфт .
Рп = —к--ит ——. (23.8)
Oqn Oqn
Введем скобку Пуассона, которая сопоставляет двум функциям f(q, р и g(q,p) третью функцию [f,g] согласно правилу
0/ dg Of dg
l /, sr j=q— я--я—o—• (23.9)
Oqn дрп дрп Oqn
Из определения скобок Пуассона непосредственно вытекает, что они удовлетворяют следующим свойствам:
[f,g] = -[</,/], (23.10)
[fi+f2,g] = \fi,g] + [f2,g], (23.11)
[/1/2, g] = h [/2, 9) + lfi, 9] /2, (23.12)
[f,[g,h]] + [gAh,f]] + [h,[f,g]] = о. (23.13)
Соотношение (23.13) известно как тождество Якоби.
Введем соотношение слабого равенства ^, которое означает равенство по модулю связей (23.4):
/йО» f{q,p) = cm{q,p) фт{д,р) . (23.14)
В отношении функции / в (23.14) говорят, что она слабо равна нулю.
Теперь уравнения движения (23.8) записываются в виде (здесь g - любая функция переменных q и р)
д = [д,ПТ], -Нт = П + итфт. (23.15)
Уравнения (23.15) совпадают с уравнениями (23.8) с точностью до членов [#, ит ] фт т 0. Множители Лагранжа не являются, вообще говоря, функциями лишь одних переменных (q, р) и потому скобки
202 Пуассона с их участием не определены. Тем не менее, как мы видим, уравнения (23.8) и (23.15) совпадают при условии выполнения связей (23.4).
Подчеркнем, что в рассматриваемом формализме все скобки Пуассона вычисляются до того, как связи (23.4) полагаются равными нулю. Это означает в частности, что сначала находятся уравнения (23.15) и лишь затем налагаются условия фт = 0.
Предположим, что условия (23.4) выполнены в момент времени t. Для того чтобы эти условия были выполнены в близкие к t моменты времени, необходимо и достаточно выполнение слабых равенств
[Фі,ПТ] = [Фі,П] + um [фі,фт]м 0 (23.16)
для всех I = 1, ..., M.
Среди равенств (23.16) могут быть такие равенства, которые не зависят от коэффициентов ит. Это означает, что условия (23.16) дают одно или несколько соотношений вида x(fl-Р) й 0- Если X Ф ст фт, где ст - произвольно зависящие от д и р коэффициенты, то для того, чтобы теория была непротиворечивой, величина x(q,p) должна быть причислена к связям фт(д,р). Связь х называется вторичной связью, в то время как связи фт называются первичными связями. Это деление связей на первичные и вторичные условно и имеет вспомогательный характер. После присоединения вторичной (или вторичных) связи к первичным процесс нахождения вторичных связей и присоединения их к первичным должен быть продолжен до тех пор, пока новые связи не перестанут возникать в уравнении (23.16).
