Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Поэтому при выбранном способе квантования оба принципа а) и б) имеют место.
Перейдем к нерелятивистскому пределу в уравнении Дирака. Для этого подействуем на уравнение (22.11) оператором (tyaVa + rn) и учтем, что согласно уравнениям (22.1) и (22.6) yayb = rfb 4- 2 оаЬ. Мы получим
{,Мх),^)} = ^-^
(22.29)
{ VaVa + <таЬ [Va, V6]+ m2} V- = O.
185 Но [Va, Vi] = іе (даАь - дьАа) = ге Fab. При переходе к нерелятивистскому пределу следует сделать замену:
д д ф ?-i"it ф : уо _ + іе Ло + ie До _ im i
(Vo)2 -> -m2 - 2im ^ J^ 4- ге A0 ^ .
Членами, не содержащими т (точнее тс2), мы вправе пренебречь в нерелятивистском пределе. С учетом сделанных замечаний последнее уравнение для дираковского поля принимает вид
Согласно определению, электрическое E и магнитное H поля связаны с тензором электромагнитного поля формулами: Ea = Fa0 И Fa? = —Sa?-y
Ю. Из (22.3) и (22.6) имеем ср »' ( я1 0 \ о. 1/0 , / Ф\
ff? = -2?°»{ 0 ]' =2 Ua 0 J' Ф={х)-
Нетрудно проследить, что вследствие уравнения Дирака xk ~ ~ (I к \/т)фъ и потому в нерелятивистском пределе X следует положить равным нулю. Поэтому из уравнения (22.30) следует для компоненты ф уравнение Паули:
Нам остается установить, что оператор спина дираковского поля отождествляется с оператором 1/2 гг.
Аналогично тому, как нулевая компонента электрического тока J0 = ф^ф является плотностью электронного поля, величина ma? = іфї (xad? — X?da + cTa? ) ф трактуется как плотность момента импульса. Поэтому
Ma? = І J (РхфЦхадр- Хрда + (Тар)Ф (22.32)
есть полный момент импульса дираковского поля. Пусть Aa = 0. Тогда свободное уравнение Дирака имеет вид
ф = —сРдуф — іту°ф , ф^ = —д1ф^ Q7 4- ітфt 70.
186 Отсюда и с учетом уравнения (22.8) находим
Ma? = -J J d3x { (S7^t) а7 (xad? - да + <Ta? ) ф +
+ Vt (xad? -X?da + aa? ) а7<97^> } =
= і J й3хф^ {(aad? - et?da) + [а7, <ra?]d1}\p = 0.
Мы видим, что полный момент
J = J й3хф^ ^ г X г V + і (Т ^ ф
сохраняется и s = ^ <т есть собственный момент или спин Дираков-ского поля.
22.2. Дираковское поле в искривленном пространстве
Из приведенного рассмотрения дираковских полей в пространстве Минковского видно, что преобразования дираковских полей неразрывно связаны с группой Лоренца, а точнее, со спинорной группой (см. (22.12), (22.14) и (22.32) ). Алгебры Ли этих двух групп изоморфны. Поэтому для введения дираковских полей в кривом пространстве необходимо иметь ОНБ в касательном расслоении (см. § 8).
Дадим схему доказательства невозможности существования спи-норных представлений при отсутствии полей тетрад (и, следовательно, группы Лоренца). Для начала заметим, что при общих преобразованиях координат х'(х) в каждой точке определена невырожденная матрица дхм /дх'1, которая может быть произвольной. Каждой такой матрице соответствует преобразование компонент векторов согласно (2.2). Множество невырожденных 4x4 матриц образует группу, обозначаемую GLR(4). Мы должны установить отсутствие двузначных (спинорных) представлений у группы GLR(4).
Обозначим через L(3, 1), SLR(2) и SO(2) соответственно группу Лоренца, действующую в 4-мерном пространстве Минковского, группу 2x2 матриц с единичным детерминантом и группу вращений вокруг некой оси z. Имеем очевидные вложения:
SO(2) С L(3, 1), SO(2) С SLR(2) С GLR(4).
187 Отсюда видно, что если группа GLR(4) имеет спинорное представление, то оно является также и представлением групп SLR(2) и SO(2). Все представления группы SLR(2) хорошо известны. Каждый элемент группы SLR(2) представляется как
M = ехр(а,- Ki), і =1,2,3, где три генератора K1 можно взять в виде
*+ = (? 1O )' J<- = (! S)' *0 = Но -1 )¦
Эти генераторы образуют алгебру Ли углового момента:
[А'о, Kiz ] = ±К± , [К+, К_ ] = 2 K0. (*)
Важно, что матрицы из группы SO(2) представляются согласно формуле М(ф) = ехр[</> (К+ — К_ )], где вещественный параметр ф имеет смысл угла поворота вокруг оси z. Непосредственно проверяется, что M(O) = М(2 7г) = 1 для любого конечномерного представления алгебры Ли (*). Это означает отсутствие конечномерных спинорных представлений у группы GLR(4), что и требовалось доказать.
Пусть x? - локальные координаты в четырехмерном кривом пространстве с локально-псевдоевклидовой метрикой g?у, { } - ОНБ и { ea? } - тетрада. Пусть ~уа - не зависящие от координат матрицы Дирака (22.1), (22.2), ф(х) - четырехкомпонентное комплексное дираковское поле, которое представляется как матрица-столбец, и ф = ^t 7°-
Обратим внимание на тот факт, что в кривом пространстве все преобразования координат, базиса, компонент векторов и т.д. имеют локальный характер, т.е. параметры преобразования (иаь) зависят от точки пространства.
Проведем преобразование базиса и координат векторов согласно (см. (22.13)):
Єа = (еТ'а еа, , Vа' = (еТ'а V°¦ (22.33)
Если спинорные поля преобразуются согласно (22.14), то формула (22.18) остается в силе. Это значит, что величины Ja = ф уа ф образуют компоненты вещественного вектора.
188 Пусть вдоль какой-либо кривой вектор тока переносится параллельно. Тогда согласно (9.3) имеем
