Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вергелес С.Н. -> "Лекции по теории гравитации " -> 61

Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.

Вергелес С.Н. Лекции по теории гравитации — М.: МФТИ, 2001. — 428 c.
Скачать (прямая ссылка): lekciipoteoriigravitacii2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 123 >> Следующая


23.4. Уравнения Гамильтона-Якоби

и полуклассическое приближение

Вернемся к классической теории и сформулируем уравнение Гамильтона-Якоби для вырожденной теории типа гравитации, в которой гамильтониан слабо равен нулю. Затем на основе полученных результатов выпишем формулы для полуклассического приближения таких систем.

Начнем с того, что рассмотрим динамическую систему с гамильтонианом (см. (23.25))

Ut = р), (23.60)

где

ФЛЯ,Р), J = I,..., J (23.61)

216 - полный набор связей первого рода, Aj - множители Лагранжа, которые здесь являются произвольными числами, не зависящими ни от времени, ни от переменных

(Яп , Vn)

п= 1,

N .

(23.62)

Скобка Пуассона задается согласно (23.9). Связи второго рода предполагаются отсутствующими.

Выберем в пространстве переменных {q} (N-J)-мерную поверхность Е. Локальные координаты на поверхности E будем обозначать через va , V1a и т.д., где а = 1, ..., N — J. Таким образом, поверхность E локально задается N гладкими функциями q^ (v). Выберем на поверхности E гладкую вещественную функцию

S^(v)

п(°){

(</(0)М) •

(23.63)

Найдем такие функции pti (v), чтобы удовлетворялись N уравнений

ФііЧ^Ць), p^(v))= 0, (23.64а)

dva



дд{:\у) dva

0.

(23.646)

Согласно теореме о неявной функции система уравнений (23.64) относительно рап разрешима, если на поверхности E следующий детерминант отличен от нуля:

дфі dp і дф і dp з дфі dp N
дфj dp і дфj dpi dqj0) d?± dp N 8qV>
dvi dvi dv і
< 40) . a (O)
3tIN-J dvN-j dvN-j

ф 0.

(23.65)

Далее будем считать условия (23.65) выполненными и функции pn°^(i>) удовлетворяющими уравнениям (23.64). Решим уравнения Гамильтона

dqn дНт di

_ dPn_

дрп ' dt

дНт dq„

(23.66)

217 с начальными данными q^\v), PnHv)- Таким образом, мы получим некие функции qn(v, A, t) и pn{v, A, t), причем

qn(v,\,0) = qW(v), pn(v,\,0)=pW(v). (23.67)

Решим уравнение

dS{v, А, і) V^ , л ,ч дПт

Y P"(v' Л> о

(23.68)

q=q(v, X,t), p=p{v, \,t)

dt ^ ' ' ' др„ с начальным значением

S(v, A, 0) = S^{v). (23.69)

Предположим, что уравнения

qn{v,\,i)=qn (23.70)

могут быть разрешены относительно переменных (и, А). Пусть v(q, t) и \(q. t) - такие функции, которые обращают уравнения (23.70) в тождества. Подставим эти функции в решение уравнения (23.68) и введем обозначение

S(q,t) = S(v(q,t), \{q,t),t). (23.71)

Таким образом, функция S(q,t) есть интеграл J2n I Pndqn, вычисленный вдоль истинной траектории в фазовом пространстве и выраженный через координаты конечной точки { qn }.

Теорема 3.

(23'72)

Доказательство.

Д1. р) = 0, где qn, Pn - решения уравнений (23.66). Действительно,

W1 _ / дфі_ дПт _ дф? &Нт\ _

dt ~~ „ V dqn дрп дрп dqn )

= Y ' Фі' ] = Y cJi'j" Фі" ¦

j' j'j"

218 Последнее равенство есть следствие того, что все связи являются связями первого рода (см. (23.39)). Отсюда и из начальных данных (23.64а) следует Д1.

Д2. Установим, что

tj-dS ST п

(Если в какой-либо формуле содержатся переменные qn, рп без аргументов, то подразумевается, что эти переменные являются решениями уравнений (23.66) с начальными данными (23.67)). Имеем

dUa d2S yW d2qn dp,, dqn dt ~ dvadt ^ \Pn dvadt dt dva

Здесь и далее под d/dt понимается производная по времени при фиксированных параметрах v и Л. Из уравнений (23.68) получаем

O2S v^ / d2qn дрп dqn

El и Чп иРп иЧп I = п п \P"dvadt + dva dt J~

Комбинируя последние два равенства, находим

OUg _ / dp* dqn _ \ _ дКт

dt ~ ^ V dva dt dt dva J ~ dva '

Но в силу Д1 на траектории, соответствующей решению уравнений (23.66), гамильтониан %т = 0. Поэтому dUa/dt = 0 и с учетом начальных условий (23.646) Д2 установлено.

ДЗ. Имеет место равенство

_ dS V- dqn

Действительно, при t —> 0 в первом порядке по t согласно (23.68) имеем

п j Fn

219 (23.73)

Отсюда видно, что на поверхности E имеют место равенства

QjIs = O. (23.74)

Теперь применим операцию {d/dXj) к уравнениям (23.68): d2S ^ (дрп dqn , d2qr.

Л?1

__^ і OjPllOqn _ о qn \ _ 0

d\idt \ ал,- dt Рп BtdXi >

Поэтому

dQj d2S fdp„ dqn_ d2qn

dt dXjdt z^ \ Ot dXj ^n OtdXj

Ef djpn_ dqn _ dqn_ dpn \ _ dUT _ Q

V dXj dt dXj dt J ~ dXj и с учетом (23.74) ДЗ доказано.

Д4. Вследствие Д2 и ДЗ справедливы равенства

dS_ _ dS_ dva_ dS OXj _ dqn dva dqn dXj dq„

Ef dqrn dva dgm dXj \ _ v^ d?rn _ m Pm [ dva dqn + dX3 dqn dqn ~ Pn '

Последнее соотношение вместе с Д1 доказывает теорему 3. ?

Теорема 4.

dS(q,t)

dt

Таким образом, функция S зависит лишь от переменных {qn}, но не зависит от времени.

Доказательство. Очевидно:

dSjg, t) _ dS(у, A, t) dSjv, A, t) dva dS(v, X, t) dXj dt dt + Ova dt + dXj dt '

220 Здесь v(q, t) и X(q, t) определяются уравнениями (23.70). Воспользуемся уравнениями (23.68) и Д2, ДЗ теоремы 3. В результате получим

д§(д, t) _ y-r / dgn Ogn dva dgn OXj \ dt - Рп I dt dva dt дХ, dt J ~ '

Tl J '

так как круглые скобки здесь равны нулю. Последний факт содержится в уравнениях (23.70), правые части которых по определению не зависят от времени. ?
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 123 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed