Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
23.4. Уравнения Гамильтона-Якоби
и полуклассическое приближение
Вернемся к классической теории и сформулируем уравнение Гамильтона-Якоби для вырожденной теории типа гравитации, в которой гамильтониан слабо равен нулю. Затем на основе полученных результатов выпишем формулы для полуклассического приближения таких систем.
Начнем с того, что рассмотрим динамическую систему с гамильтонианом (см. (23.25))
Ut = р), (23.60)
где
ФЛЯ,Р), J = I,..., J (23.61)
216 - полный набор связей первого рода, Aj - множители Лагранжа, которые здесь являются произвольными числами, не зависящими ни от времени, ни от переменных
(Яп , Vn)
п= 1,
N .
(23.62)
Скобка Пуассона задается согласно (23.9). Связи второго рода предполагаются отсутствующими.
Выберем в пространстве переменных {q} (N-J)-мерную поверхность Е. Локальные координаты на поверхности E будем обозначать через va , V1a и т.д., где а = 1, ..., N — J. Таким образом, поверхность E локально задается N гладкими функциями q^ (v). Выберем на поверхности E гладкую вещественную функцию
S^(v)
п(°){
(</(0)М) •
(23.63)
Найдем такие функции pti (v), чтобы удовлетворялись N уравнений
ФііЧ^Ць), p^(v))= 0, (23.64а)
dva
дд{:\у) dva
0.
(23.646)
Согласно теореме о неявной функции система уравнений (23.64) относительно рап разрешима, если на поверхности E следующий детерминант отличен от нуля:
дфі dp і дф і dp з дфі dp N
дфj dp і дфj dpi dqj0) d?± dp N 8qV>
dvi dvi dv і
< 40) . a (O)
3tIN-J dvN-j dvN-j
ф 0.
(23.65)
Далее будем считать условия (23.65) выполненными и функции pn°^(i>) удовлетворяющими уравнениям (23.64). Решим уравнения Гамильтона
dqn дНт di
_ dPn_
дрп ' dt
дНт dq„
(23.66)
217 с начальными данными q^\v), PnHv)- Таким образом, мы получим некие функции qn(v, A, t) и pn{v, A, t), причем
qn(v,\,0) = qW(v), pn(v,\,0)=pW(v). (23.67)
Решим уравнение
dS{v, А, і) V^ , л ,ч дПт
Y P"(v' Л> о
(23.68)
q=q(v, X,t), p=p{v, \,t)
dt ^ ' ' ' др„ с начальным значением
S(v, A, 0) = S^{v). (23.69)
Предположим, что уравнения
qn{v,\,i)=qn (23.70)
могут быть разрешены относительно переменных (и, А). Пусть v(q, t) и \(q. t) - такие функции, которые обращают уравнения (23.70) в тождества. Подставим эти функции в решение уравнения (23.68) и введем обозначение
S(q,t) = S(v(q,t), \{q,t),t). (23.71)
Таким образом, функция S(q,t) есть интеграл J2n I Pndqn, вычисленный вдоль истинной траектории в фазовом пространстве и выраженный через координаты конечной точки { qn }.
Теорема 3.
(23'72)
Доказательство.
Д1. р) = 0, где qn, Pn - решения уравнений (23.66). Действительно,
W1 _ / дфі_ дПт _ дф? &Нт\ _
dt ~~ „ V dqn дрп дрп dqn )
= Y ' Фі' ] = Y cJi'j" Фі" ¦
j' j'j"
218 Последнее равенство есть следствие того, что все связи являются связями первого рода (см. (23.39)). Отсюда и из начальных данных (23.64а) следует Д1.
Д2. Установим, что
tj-dS ST п
(Если в какой-либо формуле содержатся переменные qn, рп без аргументов, то подразумевается, что эти переменные являются решениями уравнений (23.66) с начальными данными (23.67)). Имеем
dUa d2S yW d2qn dp,, dqn dt ~ dvadt ^ \Pn dvadt dt dva
Здесь и далее под d/dt понимается производная по времени при фиксированных параметрах v и Л. Из уравнений (23.68) получаем
O2S v^ / d2qn дрп dqn
El и Чп иРп иЧп I = п п \P"dvadt + dva dt J~
Комбинируя последние два равенства, находим
OUg _ / dp* dqn _ \ _ дКт
dt ~ ^ V dva dt dt dva J ~ dva '
Но в силу Д1 на траектории, соответствующей решению уравнений (23.66), гамильтониан %т = 0. Поэтому dUa/dt = 0 и с учетом начальных условий (23.646) Д2 установлено.
ДЗ. Имеет место равенство
_ dS V- dqn
Действительно, при t —> 0 в первом порядке по t согласно (23.68) имеем
п j Fn
219 (23.73)
Отсюда видно, что на поверхности E имеют место равенства
QjIs = O. (23.74)
Теперь применим операцию {d/dXj) к уравнениям (23.68): d2S ^ (дрп dqn , d2qr.
Л?1
__^ і OjPllOqn _ о qn \ _ 0
d\idt \ ал,- dt Рп BtdXi >
Поэтому
dQj d2S fdp„ dqn_ d2qn
dt dXjdt z^ \ Ot dXj ^n OtdXj
Ef djpn_ dqn _ dqn_ dpn \ _ dUT _ Q
V dXj dt dXj dt J ~ dXj и с учетом (23.74) ДЗ доказано.
Д4. Вследствие Д2 и ДЗ справедливы равенства
dS_ _ dS_ dva_ dS OXj _ dqn dva dqn dXj dq„
Ef dqrn dva dgm dXj \ _ v^ d?rn _ m Pm [ dva dqn + dX3 dqn dqn ~ Pn '
Последнее соотношение вместе с Д1 доказывает теорему 3. ?
Теорема 4.
dS(q,t)
dt
Таким образом, функция S зависит лишь от переменных {qn}, но не зависит от времени.
Доказательство. Очевидно:
dSjg, t) _ dS(у, A, t) dSjv, A, t) dva dS(v, X, t) dXj dt dt + Ova dt + dXj dt '
220 Здесь v(q, t) и X(q, t) определяются уравнениями (23.70). Воспользуемся уравнениями (23.68) и Д2, ДЗ теоремы 3. В результате получим
д§(д, t) _ y-r / dgn Ogn dva dgn OXj \ dt - Рп I dt dva dt дХ, dt J ~ '
Tl J '
так как круглые скобки здесь равны нулю. Последний факт содержится в уравнениях (23.70), правые части которых по определению не зависят от времени. ?
