Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
то все перечисленные требования удовлетворяются.
Действительно, для J'a(x) = ф'(х) Ja ф'(х) имеем соотношения (22.52) вследствие свойств 7-матриц (22.1) и (22.4). Кроме того, из уравнения Дирака вытекает уравнение
(—г h~/a Va + тс) фр(х°,х) = О,
где Vq = Vo , V'a = -Va. И наоборот: из последнего уравнения следует уравнение Дирака.
Непосредственно проверяется, что четыре компоненты
J5aEE^7V Ф (22.54)
являются вещественными и образуют компоненты вектора относительно преобразований Лоренца, т.е. преобразуются по закону (22.18^ Этот факт вытекает из того, что [75, crab] = 0. Вместе с тем вследствие (22.5) имеем
J'5°(x°, X) = -J5V1-X), J5V, X) =J5(A-X). (22.55)
Равенство (22.55) означает, что J^ являются компонентами псевдовектора, а не вектора.
Аналогично показывается, что
(фф)'(х0,х) = (фф)(х°!-х),
(ф 75 ф )'(ж°, х) = — (ф 75 ф)(х°, — х),
т.е. величины фф и фу5 Ф являются скалярными и псевдоскалярными соответственно.
Обратим внимание на то, что повторное применение операции инверсии приводит к тождественному преобразованию всех полей.
Б. Обращение времени
При обращении времени имеем
193 J'°(x°, x) = J°{-x°, x), j'(z°> x) = - J(—ж0, x). (22.56)
Для вектор-потенциала при обращении времени справедливо правило:
A'V, х) = A0Hc01 х), А'(«°, х)) = -А(-Л х). (22.57)
Потребуем также, чтобы при проведении операции обращения времени уравнение Дирака сохраняло свой вид. Это требование невозможно удовлетворить без комплексного сопряжения дираковского поля, что следует из уравнения Паули, в которое переходит уравнение Дирака в нерелятивистском пределе.
Проверим, что всем требованиям удовлетворяет преобразование дираковского поля вида
ф'(х°, х) = фт(х°, х) = Ut ф\-х°, X),
фт(х°, х) = -ф'(-х°, х) Ut , (22.58)
где в спинорном и стандартном представлениях
UT = J3J1J0, [4 = -1. (22.59)
Индекс t сверху означает транспонирование. Имеем
Ut J0t = J0Ut, Ut j 4 = -j Ut ¦ (22.60)
Поскольку при обращении времени переставляются начальное и конечное состояния, то формулы преобразования (22.57 - 60) должны быть дополнены правилом, согласно которому всякое произведение операторов преобразуется в произведение преобразованных операторов в обратном порядке. При помощи формул (22.58) и (22.60) устанавливаем, что поле фт удовлетворяет уравнению Дирака, если поле ф удовлетворяет уравнению, которое получается из уравнения (22.11) при помощи дираковского сопряжения, и наоборот. Кроме того, согласно (22.58), (22.60) и указанному правилу
(ф1аф)т(х°, X) = -{ф1 UtJa Ut Ф* У{-х°, х) =
= Яаа{Ф1 Iat Ф1 )'(-аЛ X) =Wba Ф K-X01 X). (22.61)
Здесь отсутствует суммирование по индексу а. Тем самым преобразование (22.56) установлено.
194 В. Зарядовое сопряжение
Из (22.26) видно, что поля ф и ф уничтожают частицу и античастицу соответственно, которые имеют взаимно противоположные заряды. Поэтому операция зарядового сопряжения должна сопровождаться операцией дираковского сопряжения полей. При этом вектор тока (22.17) должен менять знак:
J'a(x) =-Ja(x). (22.62)
При зарядовом сопряжении следует также считать, что изменяет знак либо электрический заряд, либо вектор-потенциал. Кроме того, зарядово-сопряженные поля должны удовлетворять уравнению Дирака.
Все указанные требования выполнены, если
ф'(х) = фс(х) = исфь(х), Фс — —ф1 Uq1 . (22.63)
В спинорном и стандартном представлениях
Uc = il2l\ Uc1IaUc = -Iat,
Uc1I5Uc = Ibt, Uc1ITabUc = -Tabt. (22.64)
При помощи (22.64) без труда проверяется, что после преобразования (22.63) и изменения знака потенциала уравнение Дирака переходит в уравнение Дирака для дираковски-сопряженного поля. Кроме того, из (22.63) и (22.64) получаем
Jla = -фь Uc1 Iа Uc Ф* = Ф* Iat ФЬ ¦
Отсюда и из антикоммутативности дираковских полей следует равенство (22.62).
Повторное применение операции зарядового сопряжения приводит к тождественному преобразованию.
Пусть ферт обозначает поле, возникающее из дираковского поля ф при последовательном проведении операций обращения времени, затем пространственной инверсии и, наконец, зарядового сопряжения. Комбинируя (22.53), (22.58) и (22.63) в нужном порядке, находим
фСРТ = 75 ф(-х). (22.65)
195 Теперь мы можем сформулировать понятие "вещественности" дираковских полей. "Вещественное" дираковское поле называется майорановским полем.
Определение 1. Дираковское поле ф называется майорановским полем, если операция зарядового сопряжения (22.63) не изменяет это поле, то есть если
ф(х) = исф1{х) = J72^tt (ж). (22.66)
?
Формула (22.66) справедлива в спинорном и стандартном представлениях.
Так как уравнение Дирака инвариантно относительно зарядового сопряжения, то майорановское поле может быть решением уравнения Дирака. Действительно, если дираковское поле ф удовлетворяет уравнению Дирака, то и поле Uc фь также удовлетворяет уравнению Дирака (22.11). Поэтому и поле (ф+Uc ф*), являющееся майорановским, также удовлетворяет уравнению Дирака.
Покажем, что электрический ток майорановского поля тождественно равен нулю.
